2020-2021学年高考数学（理）考点：函数模型及其应用

2020-2021学年高考数学（理）考点：函数模型及其应用1几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f (x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f (x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f (x)baxc(a，b，c为常数，b0，a>0且a1)对数函数模型f (x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a>0且a1)幂函数模型f (x)axnb (a，b为常数，a0)2.三种函数模型的性质 函数性质yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤提示解函数应用题的步骤1（2020山东）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：天）的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为A1.2天B1.8天C2.5天D3.5天【答案】B【解析】把，代入，可得，当时，则，两边取对数得，解得故选2（2020新课标）模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天）的模型：，其中为最大确诊病例数当时，标志着已初步遏制疫情，则约为A60B63C66D69【答案】C【解析】由已知可得，解得，两边取对数有，解得，故选3（2019新课标）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为，月球质量为，地月距离为，点到月球的距离为，根据牛顿运动定律和万有引力定律，满足方程：设由于的值很小，因此在近似计算中，则的近似值为ABCD【答案】D【解析】，满足方程：，故选4（2020上海）在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为车辆密度（1）若交通流量，求道路密度的取值范围；（2）已知道路密度，交通流量，求车辆密度的最大值【解析】（1），越大，越小，是单调递减函数，当时，最大为85，于是只需令，解得，故道路密度的取值范围为（2）把，代入中，得，解得，当时，当时，是关于的二次函数，对称轴为，此时有最大值，为综上所述，车辆密度的最大值为5（2020上海）有一条长为120米的步行道，是垃圾投放点，若以为原点，为轴正半轴建立直角坐标系，设点，现要建设另一座垃圾投放点，函数表示与点距离最近的垃圾投放点的距离（1）若，求、的值，并写出的函数解析式；（2）若可以通过与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利问：垃圾投放点建在何处才能比建在中点时更加便利？【解析】（1）投放点，表示与距离最近的投放点（即的距离，所以，同理分析，由题意得，则当，即时，；当，即时，；综上；（2）由题意得，所以，则与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，所以，由题意，即，解得，即垃圾投放点建在与之间时，比建在中点时更加便利6（2019上海）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份【解析】（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多（2）是减函数，且，在上单调递增，令，解得，当时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿7（2017上海）根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解析】（1），前4个月共投放单车为，前4个月共损失单车为，该地区第4个月底的共享单车的保有量为（2）令，显然时恒成立，当时，有，解得，第42个月底，保有量达到最大当，为公差为等差数列，而为等差为1的等差数列，到第42个月底，单车保有量为，第42个月底单车保有量超过了容纳量8（2016新课标）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：记表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的易损零件数（）若，求与的函数解析式；（）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5，求的最小值；（）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【解析】（）当时，（）由柱状图知，更换的易损零件数为16个频率为0.06，更换的易损零件数为17个频率为0.16，更换的易损零件数为18个频率为0.24，更换的易损零件数为19个频率为0.24又更换易损零件不大于的频率为不小于0.5则的最小值为19件； （）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，所须费用平均数为：（元 假设这100台机器在购机的同时每台都购买20个易损零件，所须费用平均数为（元购买1台机器的同时应购买19台易损零件1（2020梅河口市校级模拟）“开车不喝酒，喝酒不开车”近日，公安部交通管理局下发关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时间以整小时计算）？（参考数据：，表：车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值饮酒后驾车，醉酒后驾车ABCD【答案】B【解析】由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令，故，所以，故选2（2020碑林区校级模拟）咖啡产品的经营和销售如何在中国开拓市场是星巴克、漫咖啡等欧美品牌一直在探索的内容，而2018年至今中国咖啡行业的发展实践证明了以优质的原材料供应以及大量优惠券、买赠活动吸引消费者无疑是开拓咖啡的中国市场的最有效的方式之一若某品牌的某种在售咖啡产品价格为30元杯，其原材料成本为7元杯，营销成本为5元杯，且品牌门店提供如下4种优惠方式：（1）首杯免单，每人限用一次；（2）3.8折优惠券，每人限用一次；（3）买2杯送2杯，每人限用两次；（4）买5杯送5杯，不限使用人数和使用次数每位消费者都可以用以上4种优惠方式中选择不多于2种使用现在某个公司有5位后勤工作人员去该品牌门店帮每位技术人员购买1杯咖啡，购买杯数与技术人员人数须保持一致；请问，这个公司的技术人员不少于人时，无论5位后勤人员采用什么样的优惠方式购买咖啡，这笔订单该品牌门店都能保证盈利A28B29C30D31【答案】C【解析】由题意知，咖啡产品原价为 30 元杯，成本为 12 元杯，优惠方式（1）免单购买，每购买1杯该品牌门店亏损12元；优惠方式（2）每杯售价11.4元，每购买1杯该品牌店亏损0.6元；优惠方式（3）和（4）相当于5折购买，每购买1杯该品牌门店盈利3元；我们只需要考虑最优的购买方式，每位后勤工作人员能选择2种优惠方式，必然包含优惠方式（1），可以免单购买5杯咖啡，该品牌门店因此亏损60元，最优的购买方式是不包含原价购买任何一杯咖啡，说明只要用原价购买1杯咖啡，哪怕最大程度利用3.8折优惠，花费也一定会超过搭配使用（2）（4）优惠购买咖啡），故显然该品牌门店必须按照优惠方式（3）和（4）售出20杯以上的咖啡才能盈利，故技术人员人数一定多于人；技术人员在人时，免单购买5杯咖啡买5送5购买20杯咖啡折购买14杯咖啡，该品牌门店依旧亏损；技术人员为30人时，最优购买方式为免单购买5杯咖啡十买5送5购买20杯咖啡十买2送2购买4杯咖啡折购买1杯咖啡，该品牌门店盈利元； 由于 4，故技术人员超过30人时，该品牌门店能保证持续盈利故选3（2020道里区校级四模）中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取