Chapter4-ImageEnhancementinFrequencyDomain

第4章 频率域图像增强 Image Enhancement in the Frequency,主要内容 傅里叶变换和频率域的介绍 频率域平滑滤波器 频率域锐化滤波器 同态滤波器 实现,4.1 背景 Background,法国数学家傅立叶(生于1768年)在1822年出版的热分析理论一书中指出:任何周期函数都可以表达为不同频率的正弦和或余弦和的形式,即傅立叶级数。 20世纪50年代后期,快速傅立叶变换算法出现,得到了广泛的应用。,4.2 傅里叶变换和频率域的介绍 Introduction to the Fourier Transform and the Frequency,主要内容 一维傅立叶变换及其反变换 二维DFT变换及其反变换 频率域滤波 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系,4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换(1),连续函数f(x)的傅立叶变换F(u): 傅立叶变换F(u)的反变换: 离散函数f(x)(其中x=0,1,2,M-1)的傅立叶变换: F(u)的反变换:,4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换(2),傅立叶变换可以看作数学的棱镜,将函数基于频率分成不同成分.当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。这是属于线性滤波核心的重要概念。,for i=1:10 x=x+sin(2*pi*300*i*(0:255)/fs); end,4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换(3),傅立叶变换在极坐标下表示: 频率谱 相位谱 功率谱,4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换(4),当曲线下的面积在x域加倍时，频率谱的高度也加倍； 当函数的长度加倍时，相同间隔下频谱中零点的数量也加倍。,4.2.2 二维DFT及其反变换(1),一个图像尺寸为MN的函数f(x,y)的离散傅立叶变换F(u,v): F(u,v)的反变换:,4.2.2二维DFT及其反变换(2),二维离散傅立叶变换在极坐标下表示: 频率谱 相位谱 功率谱,4.2.2二维DFT及其反变换(3),傅立叶变换的原点(即F(0,0)为(M/2,N/2)。 离散图像在原点的傅立叶变换等于图像的平均灰度值。 空间域和频率域抽样点之间的关系如下：,通常在傅里叶变换之前用 乘以输入的图像函数，即：,4.2.2二维DFT及其反变换(4),一个简单的二维函数的中心谱,4.2.3 频率域滤波(1),频率域的基本性质：频率域的中心领域对应图像中慢变化部分，离开频率域的中心时，较高的频率开始对应图像中变化较快的部分（如：物体的边缘等）。,4.2.3 频率域滤波(2),频率域中滤波步骤： 用 乘以输入图像来进行中心变化。 由(1)计算图像的DFT，即F(u,v)； 用滤波函数H(u,v)乘以F(u,v)。 4.计算(3)中结果的反DFT。 5.得到(4)中结果的实部。 6.用 乘以(5)中的结果。,4.2.3 频率域滤波(3),频率滤波器的基本步骤,4.2.3 频率域滤波(4),作用：当可以识别特定的、局部化频域成分引起的空间图像效果时，该滤波器是一个非常有用的工具。,4.2.3 频率域滤波(5),在傅里叶变换中，低频主要决定图像在平滑区域中总体灰度级的显示，而高频决定图像细节部分，如边缘和噪声。,低通滤波器：使低频通过而使高频衰减。 滤波结果：被滤波后的图像比原始图像少一些尖锐的细节部分。,高通滤波器：锐化图像，即使高频通过而使低频衰减。 滤波结果：被滤波后的图像在平滑区域中将减少一些灰度级的变化并突出过渡（如边缘）灰度级的细节部分。,4.2.3 频率域滤波(6),卷积定理是空域和频域滤波的最基本联系纽带。二维卷积定理：,基本计算过程： 取函数h(m,n)关于原点的镜像，得到h(-m,-n) 对某个(x,y),使h(-m,-n)移动相应的距离，得到h(x-m,y-n) 对积函数f(m,n)h(x-m,y-n)在(m,n)的取值范围内求和 位移是整数增量，对所有的(x,y)重复上面的过程，直到两个函数：f(m,n)和h(x-m,y-n)不再有重叠的部分。,傅立叶变换是空域和频域的桥梁，关于两个域滤波的傅立叶变换对：,4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系(1),冲激（脉冲）函数及筛选属性：,冲激函数的傅立叶变换：,筛选属性：,冲激函数响应：,4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系(1),频域与空域滤波的比较：,1. 对具有同样大小的空域和频率滤波器：h(x,y), H(u,v)，频域计算(由于FFT)往往更有效(尤其是图像尺寸比较大时）。但对在空域中用尺寸较小的模板就能解决的问题，则往往在空域中直接操作。 2. 频域滤波虽然更直接，但如果可以使用较小的滤波器，还是在空域计算为好。 因为省去了计算傅立叶变换及反变换等步骤。 3. 由于更多的直观性，频率滤波器设计往往作为空域滤波器设计的向导。,例：高斯滤波器,低通：,高通：,4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系(2),4.2.4 空间域滤波和频率域滤波之间的对应关系(3),4.3 频率域平滑滤波器 Smoothing Frequency-Domain Filters,主要内容 理想低通滤波器 Butterworth低通滤波器 高斯低通滤波器 低通滤波器的其它例子,理想的低通滤波器的变换函数: 这里, 是指定的非负数值,D(u,v)是(u,v)点距频率矩形原点的距离,即 .,4.3.1 理想低通滤波器(1),4.3.1 理想低通滤波器(2),4.3.1 理想低通滤波器(3),理想滤波器实际上是不可实现的，但在计算机中可以仿真实现，但可以帮助我们理解滤波器的行为和特征。为研究其行为与截止频率的关系，可以采用求百分功率的办法：,可以看出，谱迅速衰落，92%的功率包含在相对较小的半径为5的圆周内。,4.3.1 理想低通滤波器(4),两点说明： 该图像的信息主要包含在低频段，而包含大部分细节的高频段大约只占图像总功率的8。 ILPT的模糊和振铃响应特性,4.12图显示了应用图4.11（b）所示半径处截止频率的理想低通滤波器的结果。,4.3.1 理想低通滤波器(5),滤波器h(x,y)的两个主要特性：在原点处的一个主要成分，及中心成分周围集中、呈周期性的成分。 中心成分主要决定模糊。 集中的成分主要决定了理想滤波器振铃现象的特性。振环中心分量的半径及其他同心分量的数目与ILPF的截止频率成反比。 滤波器截止频率越小，即越狭窄，则振铃现象越严重。,ILPF振铃特性的解释,通过空间滤波器中心的水平扫描线的灰度级剖面线。,4.3.2 Butterworth低通滤波器(1),n阶Butterworth低通滤波器的传递函数定义: 这里, 是截止频率,D(u,v)是(u,v)点距频率矩形原点的距离, .,4.3.2 Butterworth低通滤波器(2),理想低通滤波的结果,Butterworth低通滤波的结果,和理想低通滤波器相比： 1、没有明显的跳跃 2、模糊程度减少 3、尾部含有较多的高频，对噪声的平滑效果不如ILPF,4.3.2 Butterworth低通滤波器(3),Butterworth滤波器的振铃现象与滤波器的阶数密切相关。,4.3.2 Butterworth低通滤波器(4),结论 一阶的Butterworth滤波器没有振铃. 二阶的Butterworth滤波器有很微小的振铃,但阶数增大时振铃便成为一个重要因素. 当阶数n充分大时, Butterworth滤波器就变成理想低通滤波器.,高斯低通滤波器:,4.3.3 高斯低通滤波器(1),当D(u,v)等于截止频率时，滤波器下降到它最大值得0.607处。 空间高斯滤波器没有振铃现象。,4.3.3 高斯低通滤波器(2),Butterworth滤波器,高斯滤波器,比较可以看出，GLPF不能达到有相同截止频率的二阶BLPF的平滑效果，这是因为GLPF的剖面线没有二阶BLPF的剖面线紧凑。但是GLPF最大的优势在于它不产生振铃现象。这在需要严格控制低频和高频之间截止频率的过渡情况下更为合适。,4.3.4 低通滤波器的其他例子(1),使用高斯低通滤波器的实例,4.3.4 低通滤波器的其他例子(2),应用低通滤波从一幅尖锐的原像产生平滑、柔和的图像,4.3.4 低通滤波器的其他例子(3),注意水平传感器扫描线,低通滤波器通过消除比感兴趣特征小的特 征来简化图像分析,墨西哥湾,佛罗里达,奥基乔比湖,主要内容 理想高通滤波器 Butterworth高通滤波器 高斯型高通滤波器 频率域的拉普拉斯算子 钝化模板、高频提升滤波和高频加强滤波,4.4 频率域锐化滤波器 Sharpening Frequency Domain Filters,4.4 频率域锐化滤波器(1) Sharpening Frequency Domain Filters,三种滤波器的三维、图像及横截面表示：,4.4 频率域锐化滤波器(2) Sharpening Frequency Domain Filters,三种滤波器的空间域图像及轴向剖面表示：,理想的高通滤波器的变换函数: 这里, 是指定的非负数值,D(u,v)是(u,v)点距频率矩形原点的距离,即 .,4.4.1 理想高通滤波器(1) Sharpening Frequency Domain Filters,4.4.1 理想高通滤波器(2) Sharpening Frequency Domain Filters,n阶Butterworth高通滤波器的传递函数定义: 这里, 是截止频率,D(u,v)是(u,v)点距频率矩形原点的距离, .,4.4.2 Butterworth高通滤波器(1),4.4.2 Butterworth高通滤波器(2),Butterworth滤波器比理想滤波器的平滑效果要好,4.4.3 高斯型高通滤波器,频域Laplacian滤波器：,用Laplacian算子作用在频域图像上（求二阶偏导数）：,频域Laplacian滤波器：,中心化：,对第三个公式做反傅立叶变换，将得到Laplacian滤波器的空间域表现形式。,4.4.4 频率域的拉普拉斯算子(1),4.4.4 频率域的拉普拉斯算子(1),频率域,空间域,离散模板近似,4.4.4 频率域的拉普拉斯算子(2),用Laplacian滤波器增强（锐化）图像（as Eq.(3.7-5),(中心掩码为负）,频率域：,4.4.5 钝化模板、高频提升滤波和高频加强滤波(1),钝化模板： 由从一幅图像减去自身模糊图像而生成的锐化图像构成。采用频域技术，这意味着从图像自身减去低通滤波后的图像而得到的高通滤波图像。即：,频域表达式：,4.4.5 钝化模板、高频提升滤波和高频加强滤波(2),高频提升：,4.4.5钝化模板、高频提升滤波和高频加强滤波(3),依据： 图象的灰度由照射分量和反射分量合成。反射分量反映图象内容，随图象细节不同在空间上作快速变化。照射分量在空间上通常均具有缓慢变化的性质。 照射分量的频谱落在空间低频区域，反射分量的频谱落在空间高频区域。,要点：,消除不均匀照度的影响, 增强图象细节。,4.5 同态滤波器 Homomorphic Filtering,照度 ,反射系数 。,若物体受到照度明暗不匀的时候，图象上对应照度暗的部分，其细节就较难辨别。 同态滤波的目的：消除不均匀照度的影响而又不损失图象细节。,图像的照度反射模型(illumination-reflectance),4.5 同态滤波器 Homomorphic Filtering,（3）压缩i(x,y)分量的变化范围