74编号2017年中考数学专题复习八：几何证明题

专题八：几何证明题专题八：几何证明题 【问题解析】【问题解析】 几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中 占有重要地位根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难 度方面要降低但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题 型 几何证明题重在训练学生应用数学语言合情推理能力，几何证明题和计算题在中考中 占有重要地位根据新的课程标准，对几何证明题证明的方法技巧上要降低，繁琐性、难 度方面要降低但是注重考查学生的基础把握推理能力，所以几何证明题是目前常考的题 型 【热点探究】【热点探究】 类型一：关于三角形的综合证明题类型一：关于三角形的综合证明题 【例题 1】（2016四川南充）【例题 1】（2016四川南充） 已知ABN 和ACM 位置如图所示， AB=AC， AD=AE， 1=2 （1）求证：BD=CE； （2）求证：M=N 【分析】 （1）由 SAS 证明ABDACE，得出对应边相等即可 （2）证出BAN=CAM，由全等三角形的性质得出B=C，由 AAS 证明ACMABN， 得出对应角相等即可 【解答】 （1）证明：在ABD 和ACE 中， ABDACE（SAS） ， BD=CE； （2）证明：1=2， 1+DAE=2+DAE， 即BAN=CAM， 由（1）得：ABDACE， B=C， 在ACM 和ABN 中， ACMABN（ASA） ， M=N 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质 ； 证明三角形全等是解决问题的关键 【同步练】【同步练】 （2016山东省菏泽市3 分）如图，ACB 和DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在 同一直线上，连接 BE （1）如图 1，若CAB=CBA=CDE=CED=50 求证：AD=BE； 求AEB 的度数 （2）如图 2，若ACB=DCE=120，CM 为DCE 中 DE 边上的高，BN 为ABE 中 AE 边 上的高，试证明：AE=2CM+BN 类型二：关于四边形的综合证明题类型二：关于四边形的综合证明题 【例题 2】【例题 2】 （2016山东省滨州市10 分）如图，BD 是ABC 的角平分线，它的垂直平 分线分别交 AB，BD，BC 于点 E，F，G，连接 ED，DG （1）请判断四边形 EBGD 的形状，并说明理由； （2）若ABC=30，C=45，ED=2，点 H 是 BD 上的一个动点，求 HG+HC 的最 小值 【考点】平行四边形的判定与性质；角平分线的性质 【分析】（1）结论四边形 EBGD 是菱形只要证明 BE=ED=DG=GB 即可 （2）作 EMBC 于 M，DNBC 于 N，连接 EC 交 BD 于点 H，此时 HG+HC 最小，在 RTEMC 中，求出 EM、MC 即可解决问题 【解答】解：（1）四边形 EBGD 是菱形 理由：EG 垂直平分 BD， EB=ED，GB=GD， EBD=EDB， EBD=DBC， EDF=GBF， 在EFD 和GFB 中， ， EFDGFB， ED=BG， BE=ED=DG=GB， 四边形 EBGD 是菱形 （2）作 EMBC 于 M，DNBC 于 N，连接 EC 交 BD 于点 H，此时 HG+HC 最小， 在 RTEBM 中，EMB=90，EBM=30，EB=ED=2， EM=BE=， DEBC，EMBC，DNBC， EMDN，EM=DN=，MN=DE=2， 在 RTDNC 中，DNC=90，DCN=45， NDC=NCD=45， DN=NC=， MC=3， 在 RTEMC 中，EMC=90，EM=MC=3， EC=10 HG+HC=EH+HC=EC， HG+HC 的最小值为 10 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂 直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点 H 的位置，属于中考常考 题型 【同步练】【同步练】 （2016山东省济宁市3 分） 如图， 正方形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， 延长 CB 至点 F，使 CF=CA，连接 AF，ACF 的平分线分别交 AF，AB，BD 于点 E，N，M，连接 EO （1）已知 BD=，求正方形 ABCD 的边长； （2）猜想线段 EM 与 CN 的数量关系并加以证明 类型三：关于圆的综合证明题类型三：关于圆的综合证明题 【例题 3】【例题 3】 （2016山东潍坊） 正方形 ABCD 内接于O， 如图所示， 在劣弧上取一点 E， 连接 DE、BE，过点 D 作 DFBE 交O 于点 F，连接 BF、AF，且 AF 与 DE 相交于点 G，求证： （1）四边形 EBFD 是矩形； （2）DG=BE 【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理 【分析】 （1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出 BED=BAD=90，BFD=BCD=90，EDF=90，进而得出答案； （2）直接利用正方形的性质的度数是 90，进而得出 BE=DF，则 BE=DG 【解答】证明：（1）正方形 ABCD 内接于O， BED=BAD=90，BFD=BCD=90， 又DFBE， EDF+BED=180， EDF=90， 四边形 EBFD 是矩形； （2） ）正方形 ABCD 内接于O， 的度数是 90， AFD=45， 又GDF=90， DGF=DFC=45， DG=DF， 又在矩形 EBFD 中，BE=D 【同步练】【同步练】 （枣庄市 2015 中考 -24）如图，在ABC 中，ABC=90，以 AB 的中点 O 为圆心、OA 为半径的圆交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE，OE （1）判断 DE 与O 的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD2OE； （3）若 cosBAD=，BE=6，求 OE 的长 3 5 类型四：关于相似三角形的证明问题类型四：关于相似三角形的证明问题 【例题 4】【例题 4】 （2016黑龙江齐齐哈尔8 分）如图，在ABC 中，ADBC，BEAC，垂足 分别为 D，E，AD 与 BE 相交于 点 F （1）求证：ACDBFD； （2）当 tanABD=1，AC=3 时，求 BF 的长 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】 （1）由C+DBF=90，C+DAC=90，推出DBF=DAC，由此即可证明 （2）先证明 AD=BD，由ACDBFD，得=1，即可解决问题 【解答】 （1）证明：ADBC，BEAC， BDF=ADC=BEC=90， C+DBF=90，C+DAC=90， DBF=DAC， ACDBFD （2）tanABD=1，ADB=90 =1， AD=BD， ACDBFD， =1， BF=AC=3 【同步练】【同步练】 （2016湖北武汉10 分）在ABC 中，P 为边 AB 上一点 (1) 如图 1，若ACPB，求证：AC2APAB； (2) 若 M 为 CP 的中点，AC2， 如图 2，若PBMACP，AB3，求 BP 的长； 如图 3，若ABC45，ABMP60，直接写出 BP 的长 【达标检测】【达标检测】 1. （2016黑龙江哈尔滨8 分） 已知 ： 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E 在边 CD 上， AQBE 于点 Q，DPAQ 于点 P （1）求证：AP=BQ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与 较短线段长度的差等于 PQ 的长 2. （2016四川内江） （2016四川内江） (9 分)如图 6 所示， ABC 中， D 是 BC 边上一点， E 是 AD 的中点， 过点 A 作 BC 的平行线交 CE 的延长线于 F，且 AFBD，连接 BF (1)求证：D 是 BC 的中点； (2)若 ABAC，试判断四边形 AFBD 的形状，并证明你的结论 DC E F B A 图 6 3. （烟台市 2015 中考 -23） 如图， 以ABC 的一边 AB 为直径的半圆与其它两边 AC， BC 的交点分别为 D、E，且= （1）试判断ABC 的形状，并说明理由 （2）已知半圆的半径为 5，BC=12，求 sinABD 的值 4. （2015内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第 22 题 7 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，E、 F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线 （1）求证：ADECBF； （2）若ADB 是直角，则四边形 BEDF 是什么四边形？证明你的结论 5. （烟台市 2014 中考 -24）如图，AB 是O 的直径，延长 AB 至 P，使 BP=OB，BD 垂直 于弦 BC，垂足为点 B，点 D 在 PC 上设PCB=，POC= 求证：tantan= 6. （2015梧州,第 25 题 12 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 在 AD 上，且不与 A、D 重合，BP 的垂直平分线分别交 CD、AB 于 E、F 两点，垂足为 Q，过 E 作 EHAB 于 H （1）求证：HF=AP； （2）若正方形 ABCD 的边长为 12，AP=4，求线段 EQ 的长 7. （2015北海,第 25 题 12 分）如图，AB、CD 为O 的直径，弦 AECD，连接 BE 交 CD 于点 F，过点 E 作直线 EP 与 CD 的延长线交于点 P，使PED=C （1）求证：PE 是O 的切线； （2）求证：ED 平分BEP； （3）若O 的半径为 5，CF=2EF，求 PD 的长 【参考答案】【参考答案】 类型一：关于三角形的综合证明题类型一：关于三角形的综合证明题 【同步练】【同步练】 （2016山东省菏泽市3 分）如图，ACB 和DCE 均为等腰三角形，点 A，D，E 在 同一直线上，连接 BE （1）如图 1，若CAB=CBA=CDE=CED=50 求证：AD=BE； 求AEB 的度数 （2）如图 2，若ACB=DCE=120，CM 为DCE 中 DE 边上的高，BN 为ABE 中 AE 边 上的高，试证明：AE=2CM+BN 【考点】等腰三角形的性质 【分析】（1）通过角的计算找出ACD=BCE，再结合ACB 和DCE 均为等腰三角 形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判定（SAS）即可证出ACDBCE，由此 即可得出结论 AD=BE； 结合中的ACDBCE可得出ADC=BEC， 再通过角的计算即可算出AEB的度数 ； （2）根据等腰三角形的性质结合顶角的度数，即可得出底角的度数，利用（1）的结论， 通过解直角三角形即可求出线段 AD、DE 的长度，二者相加即可证出结论 【解答】（1）证明：CAB=CBA=CDE=CED=50， ACB=DCE=180250=80 ACB=ACD+DCB，DCE=DCB+BCE， ACD=BCE AC B 和DCE 均为等腰三角形， AC=BC，DC=EC 在ACD 和BCE 中，有， ACDBCE（SAS）， AD=BE 解：ACDBCE， ADC=BEC 点 A，D，E 在同一直线上，且CDE=50， ADC=180CDE=130， BEC=130 BEC=CED+AEB，且CED=50， AEB=BECCED=13050=80 （2）证明：ACB 和DCE 均为等腰三角形，且ACB=DCE=120， CDM=CEM=（180120）=30 CMDE， CMD=90，DM=EM 在 RtCMD 中，CMD=90，CDM=30， DE=2DM=2=2CM BEC=ADC=18030=150，BEC=CEM+AEB， AEB=BECCEM=15030=120， BEN=180120=60 在 RtBNE 中，BNE=90，BEN=60， BE=BN AD=BE，AE=AD+DE， AE=BE+DE=BN+2CM 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三