444编号高中不等式总结(解法与证明)

不等式解法不等式解法 1、不等式的基本性质、不等式的基本性质（8 条） 2、一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解法（注意讨论） 求一元二次不等式 2 0(0)axbxc+解集的步骤： 一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取 两边. 3、高次不等式的解法：穿根法、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右右上方依次往 下穿（奇穿偶切） ，结合原式不等号的方向，写出 不等式的解集. 4、分式不等式的解法、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ( ) 0( )( )0 ( ) ( )( )0 ( ) 0 ( )0( ) f x f xg x g x f xg x f x g xg x （<“或”时同 理） 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 5、含绝对值不等式的解法：、含绝对值不等式的解法： 定义法： (0). (0) aa a aa = 2 ( )0 ( )(0) ( ) f x f xa a f xa 或 2 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍 在于从“小”的一边分析求解. 8、指数不等式的解法：、指数不等式的解法： 当1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x 当01a<时, ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 当01a< 且含参数的不等式时， 要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有： 讨论a与 0 的大小； 讨论与 0 的大小； 讨论两根的大小. 11、恒成立问题、恒成立问题 不等式 2 0axbxc+的解集是全体实数 （或恒 成立）的条件是： 当0a =时 0,0;bc= 当0a 时 0 0. a < 不等式 2 0axbxc+<的解集是全体实数 （或恒 成立）的条件是： 当0a =时0,0;bc=< 当0a 时 0 0. a < < ( )f xa<恒成立 max ( );f xa恒成立 min ( );f xa ( )f xa恒成立 min ( ).f xa 13、线性规划问题、线性规划问题 目标函数、线性目标函数、可行解、可行域 不等式的证明不等式的证明 1、几个重要不等式、几个重要不等式 () 22 2abab abR+，,（当且仅当ab=时 取=号）. 变形公式： 22 . 2 ab ab + （基本不等式） 2 ab ab + ()abR+，, （当且仅当ab=时取到等号）. 变形公式： 2abab+ 2 . 2 ab ab + 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积 最大） ，要注意满足三个条件“一正、二定、三相 等”. （三个正数的算术几何平均不等式） 3 3 abc abc + ()abcR+、 、（当且仅当 abc=时取到等号）. () 222 abcabbcca abR+， （当且仅当abc=时取到等号）. 333 3(0,0,0)abcabc abc+ （当且仅当abc=时取到等号）. 0,2 ba ab ab +若则（当仅当 a=b 时取等号） 0,2 ba ab ab <+ 若则（当仅当 a=b 时取等号） b a nb na ma mb a b < + + << + + ， 规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. 22 0;axaxaxaxa当时，或 22 .xaxaaxa<< <+ 将分子或分母放大（缩小） ，如 2 11 , (1)kk k +