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444编号高中不等式总结(解法与证明)

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1、不等式解法不等式解法 1、不等式的基本性质、不等式的基本性质（8 条） 2、一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解法（注意讨论）求一元二次不等式 2 0(0)axbxc+解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 3、高次不等式的解法：穿根法、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 4、分式不等式的解法、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ( ) 0( )( )0 ( ) ( )( )0 ( ) 0 ( )0( ) f x f xg x g x f xg x f x g xg x （“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 5、含绝对值不等式的解法：、含绝对值不等式的解法：定义法： (0). (0) aa a aa = 2 ( )0 ( )(0) ( ) f x f xa a f xa 或 2

2、 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x 规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 8、指数不等式的解法：、指数不等式的解法：当1a 时, ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x 当01a时, ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 当01a 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小. 11、恒成立问题、恒成立问题不等式 2 0axbxc+的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a =时 0,0;bc= 当0a 时 0 0. a 不等式 2 0axbxc+的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a =时0,0;bc= 当0a 时 0 0. a ( )f xa恒成立 max ( );f xa恒成立 min ( );f xa ( )f xa恒成立 min ( ).f xa 13、线性规划问题、线性规划问题目标函数、线性

3、目标函数、可行解、可行域不等式的证明不等式的证明 1、几个重要不等式、几个重要不等式 () 22 2abab abR+，,（当且仅当ab=时取=号）. 变形公式： 22 . 2 ab ab + （基本不等式） 2 ab ab + ()abR+，, （当且仅当ab=时取到等号）. 变形公式： 2abab+ 2 . 2 ab ab + 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. （三个正数的算术几何平均不等式） 3 3 abc abc + ()abcR+、、（当且仅当 abc=时取到等号）. () 222 abcabbcca abR+，（当且仅当abc=时取到等号）. 333 3(0,0,0)abcabc abc+ （当且仅当abc=时取到等号）. 0,2 ba ab ab +若则（当仅当 a=b 时取等号） 0,2 ba ab ab + 若则（当仅当 a=b 时取等号） b a nb na ma mb a b + + + + ，规律：小于 1 同加则变大，大于 1 同加则变小. 22 0;axaxaxaxa当时，或 22 .xaxaaxa + 将分子或分母放大（缩小），如 2 11 , (1)kk k +

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