第四节高斯(Gauss)求积公式﹎

,数值分析,前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式， 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造，复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 n是偶数时，代数精度为n+1， n是奇数时， 代数精度为n 。,我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想：能不能在区间a,b上适当选择 n+1个节点 x 0 x1,x2,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n？,答案是肯定的，适当选择节点，可使公式的精度 最高达到2n+1，这就是本节所要介绍的高斯求积公式。,第四节 高斯(Gauss)求积公式,数值分析,数值分析,考虑更一般形式的数值积分问题,定义：若求积公式 对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m.,一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法,数值分析,数值分析,定理1：设节点x0, x1,xna,b，则求积公式 的代数精度最高为2n+1次。,分别取 f(x)=1, x，x2，.xr 代入公式，并让其成为 等式，得： A0 + A1 + + An =ab1dx.= b-a x0 A0 + x1 A1+ +xn An =abxdx.= （b2-a 2)/2 . x0 rA0 + x1 rA1+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1) (r+1),数值分析,数值分析,事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x-xn)2 代入求积公式,这里 x0, x1,xn是节点，有,左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.,上式共有 r +1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.,数值分析,数值分析,定义: 使求积公式 达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数.,因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足： n d 2n+1。,数值分析,数值分析,例：选择系数与节点，使求积公式（1） 成为Gauss公式。,解：n=1, 由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。 为此，分别取 f(x)=1, x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得,求解得：,所求Gauss公式为：,(1) 用待定系数法构造高斯求积公式,数值分析,数值分析,设Pn(x)，n=0,1,2,为正交多项式序列， Pn(x)具有如下性质：,1）对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1, 2）,(正交性),3）对任意一个次数n-1的多项式P(x)，有,4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。,（2）利用正交多项式构造高斯求积公式,数值分析,数值分析,定理2 设x0,x1, ,xn 是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1 个零点,则插值型求积公式,是Guass型求积公式。,证明：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数2n+1的多项式求积公式都精确成立。,设 f(x)为任意一个次数2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk) 这里， Pn+1(x)是 n+1次正交多项式， q(x)、r(x)均是 次数n的多项式。,数值分析,数值分析,由性质3）及(4)式，有,由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n，故有,即对 f(x)为任意一个次数2n+1的多项式求积公式都精确成立。 证毕,数值分析,数值分析,利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：,代入积分式,因此，求积系数为,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,常用的高斯求积公式,1.Gauss - Legendre 求积公式 (1) 其中高斯点为Legendre多项式的零点,Guass点xk, Guass系数Ak都有表可以查询.,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,一般区间的Gauss - Legendre 求积公式,如果积分区间是a,b，用线性变换,这样就可以用Gauss - Legendre求积公式计算一般区间的积分.,将积分区间从a,b变成-1,1,由定积分的换元积 分法有,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,例 利用高斯求积公式计算,解: 令x=1/2 (1+t), 则 用高斯-Legendre求积公式计算.取n=4 积分精确值为 I=ln2=0.69314718 由此可见，高斯公式精确度是很高的.,数值分析,数值分析,例:分别用不同方法计算如下积分,并做比较,各种做法比较如下： 1、用Newton-Cotes公式 当n=1时，即用梯形公式，I0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式, I 0.9461359 当n=3时, I 0.9461090 当n=4时, I 0.9460830 当n=5时, I 0.9460830,I准=0.9460831,数值分析,数值分析,2:用复化梯形公式 令h=1/8=0.125 3：用复化辛卜生公式 令h=1/8=0.125,I准=0.9460831,数值分析,数值分析,4、用Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831,I准=0.9460831,数值分析,数值分析,5、用Gauss公式 解：令x=(t+1)/2,I准=0.9460831,（2）用3个节点的Gauss公式,（1）用2个节点的Gauss公式,数值分析,数值分析,算法比较,此例题的精确值为0.9460831. 由例题的各种算法可知： 对Newton-cotes公式，当n=1时只有1位有效数字，当n=2时有3位有效数字，当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜生公式有6位有效数字。 用复合梯形公式，对积分区间0，1二分了11次用2049个函数值，才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区间二分3次，用了9个函数值，得到同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值，就得到结果。,数值分析,数值分析,2.Gauss-Chebyshev公式,常用的高斯求积公式,数值分析,数值分析,3.Gauss-Laguerre公式,数值分析,数值分析,4.Gauss-Hermite公式,数值分析,数值分析,二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析,数值分析,数值分析,已知Hermite插值误差是,因为对2n+1次多项式求积公式准确成立，即,代入上式,即有,数值分析,数值分析,以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,将积分区间a , b n等分，在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积公式,然后把它们加起来，就得到整个区间上Gauss型求积公式的复化形式。,复化Gauss求积公式的基本思想：,下面用Gauss-Legender求积公式推导复化Gauss型求积公式.,将积分区间a , b n等分，,三、复化Gauss求积公式,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,例如,用2点的Gauss-Legender求积公式复合, 由表9-4,取n=1,得Aj =1,xj=0.5773502692代入到上式 中,得2点的复化Gauss-Legender求积公式,再将上式应用Gauss-Legender求积公式就得到了复化Gauss型求积公式.,数值分析,数值分析,数值分析,二版习题 P276-11(1)，16，,三版习题 P250-11(1)，16，,