电子文档交易市场
安卓APP | ios版本
电子文档交易市场
安卓APP | ios版本

第四节高斯(Gauss)求积公式﹎

38页
  • 卖家[上传人]:猪子****y
  • 文档编号:145745878
  • 上传时间:2020-09-23
  • 文档格式:PPT
  • 文档大小:554.01KB
  • / 38 举报 版权申诉 马上下载
  • 文本预览
  • 下载提示
  • 常见问题
    • 1、,数值分析,前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式, 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造,复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 n是偶数时,代数精度为n+1, n是奇数时, 代数精度为n 。,我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想:能不能在区间a,b上适当选择 n+1个节点 x 0 x1,x2,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n?,答案是肯定的,适当选择节点,可使公式的精度 最高达到2n+1,这就是本节所要介绍的高斯求积公式。,第四节 高斯(Gauss)求积公式,数值分析,数值分析,考虑更一般形式的数值积分问题,定义:若求积公式 对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立,即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立,则称此求积公式的代数精度为m.,一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法,数值分析,数值分析,定理1:设节点x0, x1,xna,b,则求积公式 的代数精度最高为2n+1次。,分别取 f(x)=1, x,x2,.xr 代入公式,并让其成为 等式,得: A0 + A1 + + A

      2、n =ab1dx.= b-a x0 A0 + x1 A1+ +xn An =abxdx.= (b2-a 2)/2 . x0 rA0 + x1 rA1+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1) (r+1),数值分析,数值分析,事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x-xn)2 代入求积公式,这里 x0, x1,xn是节点,有,左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.,上式共有 r +1个 等式,2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解,应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.,数值分析,数值分析,定义: 使求积公式 达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数.,因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足: n d 2n+1。,数值分析,数值分析,例:选

      3、择系数与节点,使求积公式(1) 成为Gauss公式。,解:n=1, 由定义,若求积公式具有3次代数精度,则 其是Gauss公式。 为此,分别取 f(x)=1, x,x2,x3 代入公式,并让 其成为等式,得,求解得:,所求Gauss公式为:,(1) 用待定系数法构造高斯求积公式,数值分析,数值分析,设Pn(x),n=0,1,2,为正交多项式序列, Pn(x)具有如下性质:,1)对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1, 2),(正交性),3)对任意一个次数n-1的多项式P(x),有,4)Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。,(2)利用正交多项式构造高斯求积公式,数值分析,数值分析,定理2 设x0,x1, ,xn 是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1 个零点,则插值型求积公式,是Guass型求积公式。,证明:只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数2n+1的多项式求积公式都精确成立。,设 f(x)为任意一个次数2n+1的多项式,则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x),满足 f(xk)=r(xk) 这里, Pn+1(x)是 n+1次正交多

      4、项式, q(x)、r(x)均是 次数n的多项式。,数值分析,数值分析,由性质3)及(4)式,有,由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n,故有,即对 f(x)为任意一个次数2n+1的多项式求积公式都精确成立。 证毕,数值分析,数值分析,利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤:,代入积分式,因此,求积系数为,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,常用的高斯求积公式,1.Gauss - Legendre 求积公式 (1) 其中高斯点为Legendre多项式的零点,Guass点xk, Guass系数Ak都有表可以查询.,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,一般区间的Gauss - Legendre 求积公式,如果积分区间是a,b,用线性变换,这样就可以用Gauss - Legendre求积公式计算一般区间的积分.,将积分区间从a,b变成-1,1,由定积分的换元积 分法有,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,例 利用高斯求积公式计算,解: 令x=1/2

      5、 (1+t), 则 用高斯-Legendre求积公式计算.取n=4 积分精确值为 I=ln2=0.69314718 由此可见,高斯公式精确度是很高的.,数值分析,数值分析,例:分别用不同方法计算如下积分,并做比较,各种做法比较如下: 1、用Newton-Cotes公式 当n=1时,即用梯形公式,I0.9270354 当n=2时, 即用Simpson公式, I 0.9461359 当n=3时, I 0.9461090 当n=4时, I 0.9460830 当n=5时, I 0.9460830,I准=0.9460831,数值分析,数值分析,2:用复化梯形公式 令h=1/8=0.125 3:用复化辛卜生公式 令h=1/8=0.125,I准=0.9460831,数值分析,数值分析,4、用Romberg公式 K Tn Sn Cn Rn 0 0.9207355 1 0.9397933 0.9461459 2 0.9445135 0.9460869 0.9400830 3 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831,I准=0.9460831,数值分析,数值分析,5

      6、、用Gauss公式 解:令x=(t+1)/2,I准=0.9460831,(2)用3个节点的Gauss公式,(1)用2个节点的Gauss公式,数值分析,数值分析,算法比较,此例题的精确值为0.9460831. 由例题的各种算法可知: 对Newton-cotes公式,当n=1时只有1位有效数字,当n=2时有3位有效数字,当n=5时有7位有效数字。 对复化梯形公式有2位有效数字,对复化辛卜生公式有6位有效数字。 用复合梯形公式,对积分区间0,1二分了11次用2049个函数值,才可得到7位准确数字。 用Romberg公式对区间二分3次,用了9个函数值,得到同样的结果。 用Gauss公式仅用了3个函数值,就得到结果。,数值分析,数值分析,2.Gauss-Chebyshev公式,常用的高斯求积公式,数值分析,数值分析,3.Gauss-Laguerre公式,数值分析,数值分析,4.Gauss-Hermite公式,数值分析,数值分析,二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析,数值分析,数值分析,已知Hermite插值误差是,因为对2n+1次多项式求积公式准确成立,即,代入上式,即有,数值分析,数值分析,以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,将积分区间a , b n等分,在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积公式,然后把它们加起来,就得到整个区间上Gauss型求积公式的复化形式。,复化Gauss求积公式的基本思想:,下面用Gauss-Legender求积公式推导复化Gauss型求积公式.,将积分区间a , b n等分,,三、复化Gauss求积公式,数值分析,数值分析,数值分析,数值分析,例如,用2点的Gauss-Legender求积公式复合, 由表9-4,取n=1,得Aj =1,xj=0.5773502692代入到上式 中,得2点的复化Gauss-Legender求积公式,再将上式应用Gauss-Legender求积公式就得到了复化Gauss型求积公式.,数值分析,数值分析,数值分析,二版习题 P276-11(1),16,,三版习题 P250-11(1),16,,

      《第四节高斯(Gauss)求积公式﹎》由会员猪子****y分享,可在线阅读,更多相关《第四节高斯(Gauss)求积公式﹎》请在金锄头文库上搜索。

      点击阅读更多内容
    最新标签
    发车时刻表 长途客运 入党志愿书填写模板精品 庆祝建党101周年多体裁诗歌朗诵素材汇编10篇唯一微庆祝 智能家居系统本科论文 心得感悟 雁楠中学 20230513224122 2022 公安主题党日 部编版四年级第三单元综合性学习课件 机关事务中心2022年全面依法治区工作总结及来年工作安排 入党积极分子自我推荐 世界水日ppt 关于构建更高水平的全民健身公共服务体系的意见 空气单元分析 哈里德课件 2022年乡村振兴驻村工作计划 空气教材分析 五年级下册科学教材分析 退役军人事务局季度工作总结 集装箱房合同 2021年财务报表 2022年继续教育公需课 2022年公需课 2022年日历每月一张 名词性从句在写作中的应用 局域网技术与局域网组建 施工网格 薪资体系 运维实施方案 硫酸安全技术 柔韧训练 既有居住建筑节能改造技术规程 建筑工地疫情防控 大型工程技术风险 磷酸二氢钾 2022年小学三年级语文下册教学总结例文 少儿美术-小花 2022年环保倡议书模板六篇 2022年监理辞职报告精选 2022年畅想未来记叙文精品 企业信息化建设与管理课程实验指导书范本 草房子读后感-第1篇 小数乘整数教学PPT课件人教版五年级数学上册 2022年教师个人工作计划范本-工作计划 国学小名士经典诵读电视大赛观后感诵读经典传承美德 医疗质量管理制度 2 2022年小学体育教师学期工作总结 2022年家长会心得体会集合15篇
    关于金锄头网 - 版权申诉 - 免责声明 - 诚邀英才 - 联系我们
    手机版 | 川公网安备 51140202000112号 | 经营许可证(蜀ICP备13022795号)
    ©2008-2016 by Sichuan Goldhoe Inc. All Rights Reserved.