第四节高斯(Gauss)求积公式﹎
38页1、,数值分析,前面介绍的 n+1个节点的 Newton -Cotes求积公式, 其特征是节点是等距的。这种特点使得求积公式便于 构造,复化求积公式易于形成。但同时也限制了公式 的精度。 n是偶数时,代数精度为n+1, n是奇数时, 代数精度为n 。,我们知道 n+1个节点的插值型求积公式的代数精 确度不低于n 。设想:能不能在区间a,b上适当选择 n+1个节点 x 0 x1,x2,xn ,使插值求积公式的代数精 度高于n?,答案是肯定的,适当选择节点,可使公式的精度 最高达到2n+1,这就是本节所要介绍的高斯求积公式。,第四节 高斯(Gauss)求积公式,数值分析,数值分析,考虑更一般形式的数值积分问题,定义:若求积公式 对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立,即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立,则称此求积公式的代数精度为m.,一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法,数值分析,数值分析,定理1:设节点x0, x1,xna,b,则求积公式 的代数精度最高为2n+1次。,分别取 f(x)=1, x,x2,.xr 代入公式,并让其成为 等式,得: A0 + A1 + + A
2、n =ab1dx.= b-a x0 A0 + x1 A1+ +xn An =abxdx.= (b2-a 2)/2 . x0 rA0 + x1 rA1+ +xn rAn =abxr dxr =(br+1-a r+1) (r+1),数值分析,数值分析,事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x-xn)2 代入求积公式,这里 x0, x1,xn是节点,有,左右,故等式不成立,求积公式的代数精度最高为 2n+1次。 证毕.,上式共有 r +1个 等式,2n+2个待定系数(变元),要想如 上方程组有唯一解,应有方程的个数等于变元的个数, 即 r+1=2n+2, 这样导出求积公式的代数精度至少是 2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.,数值分析,数值分析,定义: 使求积公式 达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。 Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为 Guass系数.,因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有 结论: n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足: n d 2n+1。,数值分析,数值分析,例:选
3、择系数与节点,使求积公式(1) 成为Gauss公式。,解:n=1, 由定义,若求积公式具有3次代数精度,则 其是Gauss公式。 为此,分别取 f(x)=1, x,x2,x3 代入公式,并让 其成为等式,得,求解得:,所求Gauss公式为:,(1) 用待定系数法构造高斯求积公式,数值分析,数值分析,设Pn(x),n=0,1,2,为正交多项式序列, Pn(x)具有如下性质:,1)对每一个n ,Pn(x)是 n 次多项式。 n=0,1, 2),(正交性),3)对任意一个次数n-1的多项式P(x),有,4)Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。,(2)利用正交多项式构造高斯求积公式,数值分析,数值分析,定理2 设x0,x1, ,xn 是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1 个零点,则插值型求积公式,是Guass型求积公式。,证明:只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对 任意一个次数2n+1的多项式求积公式都精确成立。,设 f(x)为任意一个次数2n+1的多项式,则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x),满足 f(xk)=r(xk) 这里, Pn+1(x)是 n+1次正交多
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