西北工业大学数值分析(附答案)
.西北工业大学数值分析习题集第一章绪 论1. 设 x>0,x 的相 差 ,求 ln x 的 差 .2. 设 x 的相 差 2,求 xn 的相 差 .3.下列各数都是 四舍五入得到的近似数,即 差限不超 最后一位的半个 位, 指出它 是几位有效数字:x1*1.1021, x2*0.031, x3*385.6, x4*56.430, x5*7 1.0.4.利用公式 (3.3)求下列各近似 的 差限:(i) x1*x2*x4* ,( ii )x1* x2* x3* ,( iii )x2* / x4* , 其中 x1* , x2* , x3* , x4*均 第 3 所 的数 .5. 算球体 要使相 差限 1 , 度量半径R 允 的相 差限是多少 ?6.设 Y028, 按 推公式YnYn 11783100 ( n=1,2, ) 算到 Y100.若取783 27.982(五位有效数字 ), 算 Y100 将有多大 差 ?7.求方程 x256 x10 的两个根 ,使它至少具有四位有效数字(783 27.982).18.当 N充分大 , 怎 求N1x2 dx ?9.正方形的 大 100 , 怎 量才能使其面 差不超 1 2 ?S1 gt 210.设2假定 g 是准确的 , 而 t 的 量有0.1秒的 差 , 明当 t增加 S的 差增加 ,而相 差却减小 .11.序列 yn 足 推关系yn10 yn 1 1(n=1,2, ), 若y02 1.41( 三位有效数字 ), 算到 y10 差有多大 ? 个 算 程 定 ?12. 算 f(2 1)6, 取21.4 , 利用下列等式 算, 哪一个得到的 果最好 ?(16,(32 2) 3 ,12)3 ,99702.21)(3213.f ( x)ln( xx21) ,求 f(30)的 .若开平方用六位函数表, 求 数 差有多大?若改用另一等价公式ln( xx2 1)ln( xx2 1) 算 ,求 数 差有多大 ?;.x11010 x2 1010 ;x1x2 2., 果是否可靠 ?14. 用消元法解方程 假定只用三位数 算s1 ab sin c,0 c15. 已知三角形面 2其中 c 弧度 ,2 ,且 量 a ,b ,c 的 差分 a, b, c. 明面 的 差s 足sabc .sabc第二章插值法1.根据 (2.2)定 的范德蒙行列式,令1x0x02Lx0nV (x)V ( x , x , xn1, x)LLLLLnn01 L1xn 1xn2 1Lxnn 11xx2Lxn 明 Vn (x) 是 n 次多 式 ,它的根是 x0 ,L , xn 1 ,且Vn ( x) Vn 1( x0 , x1,L , xn 1 )( x x0 )L (x xn 1 ) .2.当 x= 1 , -1 , 2时 , f(x)= 0 , -3, 4 , 求 f(x)的二次插 多 式 .3. 出 f( x)=ln x的数 表用 性插 及二次插 算ln 0.54的近似 .x0.40.50.60.70.8lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444. 出 cos x,0 x 90的函数表 ,步 h =1 =(1/60) , 若函数表具有5 位有效数字 ,研究用 性插 求 cos x近似 的 差界 .5.设 xkx0 kh , k=0,1,2,3,max l2 (x).求 x0 x x36. 设 xj 互异 点 ( j =0,1, , n), 求 :nxkj l j (x)xk (k 0,1,L , n);i)j0nx) k l j ( x)(x jk1,2,L, n).ii)j01 (b7.设 f (x) C2a, b且 f ( a)f (b)0 ,求 max f ( x)a) 2max f ( x).a x b8a x b8.在 4x4上 出 f (x)ex的等距 点函数表,若用二次插 求ex 的近似 ,要使截断 差不超 10 6, 使用函数表的步 h 取多少 ?9.若 yn2n ,求4 yn 及 4 yn .10.如 果 f ( x)是 m次 多 项 式 , 记 f ( x)f (xh)f ( x), 证 明 f (x) 的 k 阶 差 分k f (x)(0k m) 是 mk 次多 式 ,并且m lf ( x)0(l 正整数 ).11. 明( f k gk )fkgk gk 1fk .;.n 1n 1fk gkf n gnf0 g0gk 1 f k .12. 证明 k 0k0n 12 yjyny0.13. 证明 j 014.若 f (x) a0 a1 x Lan 1 xn 1an xn 有 n 个不同实根x1, x2 ,L , xn ,证明nkx j0,0k n 2;j 1 f ( xj )an1, k n 1.15.证明 n 阶均差有下列性质 :i)若 F (x)cf ( x) ,则 F x0 , x1 ,L , xncf x0 , x1 ,L , xn ;ii)若F (x)f (x) g( x),则F x0 , x1 ,L , xnf x0 , x1,L , xng x0, x1,L , xn.16.f ( x) x7x43x 1 ,求 f 20 ,2 1,L,2 7及 f 20 ,2 1,L ,2 8.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是R3( x)f (4) ( )( x xk ) 2 ( x xk 1) 2 / 4!,( xk , xk 1 )并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于 4次的多项式 P(x) ,使它满足 P(0)P( k 1) 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限 .19. 试求出一个最高次数不高于4 次的函数多项式 P( x) ,以便使它能够满足以下边界条件P(0)P (0)0 , P(1) P (1) 1, P(2)1.20.设 f ( x)Ca,b , 把 a, b 分为 n 等分 ,试构造一个台阶形的零次分段插值函数n (x)并证明当 n时 ,n (x) 在 a,b上一致收敛到 f (x) .21.设 f ( x)1/(1x2 ) ,在 5 x 5上取 n10 ,按等距节点求分段线性插值函数I h ( x) ,计算各节点间中点处的I h ( x) 与 f ( x) 的值 ,并估计误差 .22.求f (x) x2在a, b上的分段线性插值函数I h ( x),并估计误差 .23.求 f (x)x4在a, b上的分段埃尔米特插值,并估计误差 .24. 给定数据表如下 :xj0.250.300.390.450.53y j0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值S( x) 并满足条件i)
