高三数学二轮复习讲义解析几何

2020届高三数学二轮复习 解析几何【考点思维脑图】【重要考点串讲】一、直线与圆1直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率与点不含直线斜截式斜率与截距不含垂直于轴的直线两点式两点，(，)不含垂直于坐标轴的直线截距式截距与不含垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用2直线的两种位置关系若给定两直线：和：，(1)平行：且(若，直线和重合)(2)垂直：【提醒】当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略3距离公式(1)两点，间的距离(2)点到直线：的距离(3)两平行线：，：的距离4圆的方程(1)圆的标准方程：(2)圆的一般方程：圆心为，半径长为；二元二次方程表示圆的充要条件是5直线与圆的位置关系：相切、相交、相离(1)判断位置关系的两种方法(2)圆的切线方程若圆：，点在圆上（注意：点必须在圆上），则过点且与圆O相切的切线方程为过圆M：上点的切线方程为(3)直线与圆相交直线与圆相交时，若为弦长，为弦心距，为半径，则有，即，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式6圆与圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含(1)判断圆与圆的位置关系的方法几何法位置关系图示，的关系外离外切相交内切内含代数法，设圆：，圆：，对于方程组，有两组不同的实数解两圆相交；有两组相同的实数解两圆相切；无实数解两圆外离或内含(2)两圆相交时，公共弦所在直线的方程设圆： ，圆：，若两圆相交，则有一条公共弦，由，得，方程表示两圆与的公共弦所在直线的方程二、圆锥曲线与方程1椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义标准方程焦点在轴上焦点在轴上焦点在轴正半轴上图象几何性质范围，顶点，对称性关于轴、轴和原点对称关于轴对称焦点轴长轴长，短轴长实轴长，虚轴长离心率准线通经渐近线2与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为(0)，渐近线方程为的双曲线方程也可设为(0)求双曲线(0)的渐近线方程，只需令即可3抛物线中的几何意义是焦点到准线的距离4直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线方程联立，消去(或)，得到方程(或)若，当时，相交；当时，相切；当时，相离若时，直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线有一个交点直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点5弦长问题的求解方法(1)斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，则所得弦长或其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，(2)当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用两点间的距离公式）6中点弦问题的处理方法(1)根与系数关系法：将直线方程代入圆锥曲线的方程，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，即“设而不求”(2)点差法：若直线与圆锥曲线C有两个交点和，一般地，首先设出交点坐标，代人曲线方程，通过作差，构造，从而建立了中点坐标和斜率的关系在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；在抛物线()中，以为中点的弦所在直线的斜率7(1)求曲线方程的常用方法直接法：直接通过建立之间的关系，构成，是求轨迹的最基本的方法待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可，代入法（相关点法或转移法）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程(2)求曲线方程的基本步骤【方法技巧突破】必考点1 求解直线与圆的有关问题【典例1】(2019年浙江卷)已知圆的圆心坐标是，半径长是若直线与圆相切于点，则=_，=_【解析】解法一 设过点且与直线垂直的直线方程为：，所以，所以，所以：令，得，则解法二 因为直线与以点为圆心的圆相切，且切点为，所以，所以，【典例2】(2018全国卷)直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是ABCD【解析】圆心到直线的距离，所以点到直线的距离根据直线的方程可知，两点的坐标分别为，所以，所以的面积因为，所以，即面积的取值范围是故选A【思路点拨】将面积的取值范围转化为圆上的点到直线的距离的取值范围，然后利用点到直线的距离公式进行求解【典例3】(2016全国)已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点若，则=_【解析】设圆心到直线的距离为，则弦长，得，即，解得，则直线，数形结合可得【典例4】过点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是A B C D【解析】解法一 如图，要使过点的直线与圆有公共点，则直线在PA与PB之间，因为，所以，则，所以直线的倾斜角的取值范围为故选D解法二 因为直线与圆有公共点，所以设：，即：，则圆心到直线的距离，得，即，故直线的倾斜角的取值范围是 【误区警示】求倾斜角时要注意斜率是否存在利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围【典例5】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 【解析】因为圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长为【典例6】(2019年全国卷)已知点，关于坐标原点对称，过点，且与直线相切(1)若在直线上，求的半径；(2)是否存在定点，使得当运动时，为定值？并说明理由【解析】(1)因为过点，所以圆心在的垂直平分线上由已知在直线上，且关于坐标原点对称，所以在直线上，故可设因为与直线相切，所以的半径为连接，由已知得，又，故可得，解得或故的半径或(2)存在定点，使得为定值理由如下：设，由已知得的半径为由于，故可得，化简得的轨迹方程为因为曲线是以点为焦点，以直线为准线的抛物线，所以因为，所以存在满足条件的定点【典例7】(2017全国卷)在直角坐标系中，曲线与轴交于，两点，点的坐标为当变化时，解答下列问题：(1)能否出现的情况？说明理由；(2)证明过，三点的圆在轴上截得的弦长为定值【解析】(1)不能出现的情况，理由如下：设，则，满足，所以又的坐标为，故的斜率与的斜率之积为，所以不能出现的情况.(2)的中点坐标为，可得的中垂线方程为由(1)可得，所以的中垂线方程为联立，又，可得，所以过、三点的圆的圆心坐标为，半径故圆在轴上截得的弦长为，即过、三点的圆在轴上的截得的弦长为定值【方法探究】求圆的弦长的方法一是直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得二是不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为，联立直线方程与圆的方程消去后得到方程两根为，则弦长三是利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求，对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法较为简单，本题的求解运用的就是此种方法必考点2求解直线与圆锥曲线的相关问题角度l 圆锥曲线的几何性质及应用【典例1】(2019年全国卷)已知双曲线：的左、右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于A，B两点若，则的离心率为_【解析】通解 因为，所以，如图所以所以，所以因为，所以点为的中点，又点为的中点，所以，所以，因为直线，为双曲线的两条渐近线，所以，因为，所以，所以，所以，即，所以双曲线的离心率优解 因为，所以，在中，所以，又，所以为的中点，所以，所以又，所以为等边三角形由可得，因为点在直线上，所以，所以，所以【典例2】(2018北京)已知椭圆，双曲线若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为_；双曲线的离心率为_【解析】设椭圆的右焦点为，双曲线的渐近线与椭圆在第一象限内的交点为，由题意可知，由点在椭圆上得，（舍去）或，椭圆的离心率，双曲线的渐近线过点，渐近线方程为，故双曲线的离心率【思路点拨】得出点的坐标，由点在椭圆上建立方程，得到椭圆的离心率【典例3】(2017天津)已知双曲线的左焦点为，离心率为若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A B C D【解析】设，双曲线的渐近线方程为，由，由题意有，又，得，选B【典例4】(2016浙江)已知椭圆：()与双曲线：()的焦点重合，分别为，的离心率，则A且 B且C且 D且【解析】由于，则，故，又=1+>1，所以>1故选A【典例5】设椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线与交于两点，与轴相交于点，若，则椭圆的离心率等于_【解析】由题意知，其中，因为过且与轴垂直的直线为，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为，因为AB平行于y轴，且，所以，即D为线段为的中点，所以点的坐标为，由，所以，即，整理得，所以，又，所以，解得（舍去）【方法探究】对椭圆性质的考查主要集中在其离心率上，求解椭圆的离心率及其范围问题，其关键是确立一个关于，的关系式，再根据，的关系消掉得到，的关系式，建立关于，的关系式要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等【误区警示】椭圆的离心率越接近1，则越接近，从而越小，因此椭圆越扁；越接近0，则越接近，这时椭圆接近于圆，当且仅当时，这时两个焦点重合，椭圆就变为圆，方程为注意椭圆中，不要把这个关系与双曲线中，的关系混淆了，同时要注意椭圆的离心率的取值范围是【典例6】设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是_【解析】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系联立直线方程与双曲线的渐近线方程可解得交点为，而，设AB的中点为E，由，可得AB的中点E与点P的连线的斜率为，即，化简得，所以【方法探究】在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法由，所以可以把标准方程，中的“l”用“0”替换即可得出渐近线方程，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于，当逐渐增大时，的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大【典例7】设为抛物线C：的焦点，过且倾斜角为30的直线交于两点，为坐标原点，则的面积为A B C D【解析】易知抛物线中，焦点，直线的斜率，故直线的方程为，代入抛物线方程，整理得设，则，由物线的定义可得弦长，结合图象可得到直线的距离，所以的面积选D【技巧点拨】直线与圆锥曲线