高三数学二轮复习讲义解析几何
38页1、 2020届高三数学二轮复习 解析几何【考点思维脑图】【重要考点串讲】一、直线与圆1直线方程的五种形式名称条件方程适用范围点斜式斜率与点不含直线斜截式斜率与截距不含垂直于轴的直线两点式两点,(,)不含垂直于坐标轴的直线截距式截距与不含垂直于坐标轴的直线和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用2直线的两种位置关系若给定两直线:和:,(1)平行:且(若,直线和重合)(2)垂直:【提醒】当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时,两直线也垂直,此种情形易忽略3距离公式(1)两点,间的距离(2)点到直线:的距离(3)两平行线:,:的距离4圆的方程(1)圆的标准方程:(2)圆的一般方程:圆心为,半径长为;二元二次方程表示圆的充要条件是5直线与圆的位置关系:相切、相交、相离(1)判断位置关系的两种方法(2)圆的切线方程若圆:,点在圆上(注意:点必须在圆上),则过点且与圆O相切的切线方程为过圆M:上点的切线方程为(3)直线与圆相交直线与圆相交时,若为弦长,为弦心距,为半径,则有,即,求弦长或已知弦长求其他量的值,一般用此公式6圆与圆的位置关系:外离、外切、相交、内切、内含(1)判断圆与圆
2、的位置关系的方法几何法位置关系图示,的关系外离外切相交内切内含代数法,设圆:,圆:,对于方程组,有两组不同的实数解两圆相交;有两组相同的实数解两圆相切;无实数解两圆外离或内含(2)两圆相交时,公共弦所在直线的方程设圆: ,圆:,若两圆相交,则有一条公共弦,由,得,方程表示两圆与的公共弦所在直线的方程二、圆锥曲线与方程1椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质椭圆双曲线抛物线定义标准方程焦点在轴上焦点在轴上焦点在轴正半轴上图象几何性质范围,顶点,对称性关于轴、轴和原点对称关于轴对称焦点轴长轴长,短轴长实轴长,虚轴长离心率准线通经渐近线2与双曲线有相同渐近线的双曲线方程可设为(0),渐近线方程为的双曲线方程也可设为(0)求双曲线(0)的渐近线方程,只需令即可3抛物线中的几何意义是焦点到准线的距离4直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线方程联立,消去(或),得到方程(或)若,当时,相交;当时,相切;当时,相离若时,直线与双曲线的渐近线平行,与双曲线有一个交点直线与抛物线的对称轴平行,只有一个交点5弦长问题的求解方法(1)斜率为的直线与圆锥曲线交于两点,则所得弦长或其中求与时通常使用根与系数的关系
3、,即作如下变形:,(2)当斜率不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用两点间的距离公式)6中点弦问题的处理方法(1)根与系数关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解,即“设而不求”(2)点差法:若直线与圆锥曲线C有两个交点和,一般地,首先设出交点坐标,代人曲线方程,通过作差,构造,从而建立了中点坐标和斜率的关系在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率;在双曲线中,以为中点的弦所在直线的斜率;在抛物线()中,以为中点的弦所在直线的斜率7(1)求曲线方程的常用方法直接法:直接通过建立之间的关系,构成,是求轨迹的最基本的方法待定系数法:可先根据条件设所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数,代回所列的方程即可,代入法(相关点法或转移法)定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义,则可由曲线的定义直接写出方程(2)求曲线方程的基本步骤【方法技巧突破】必考点1 求解直线与圆的有关问题【典例1】(2019年浙江卷)已知圆的圆心坐标是,半径长是若直线与圆相切于点,则=_,=_【解析】解法一 设过点且与直线垂直的直线方程为:,所以,所
4、以,所以:令,得,则解法二 因为直线与以点为圆心的圆相切,且切点为,所以,所以,【典例2】(2018全国卷)直线分别与轴,轴交于,两点,点在圆上,则面积的取值范围是ABCD【解析】圆心到直线的距离,所以点到直线的距离根据直线的方程可知,两点的坐标分别为,所以,所以的面积因为,所以,即面积的取值范围是故选A【思路点拨】将面积的取值范围转化为圆上的点到直线的距离的取值范围,然后利用点到直线的距离公式进行求解【典例3】(2016全国)已知直线:与圆交于,两点,过,分别作的垂线与轴交于,两点若,则=_【解析】设圆心到直线的距离为,则弦长,得,即,解得,则直线,数形结合可得【典例4】过点的直线与圆有公共点,则直线的倾斜角的取值范围是A B C D【解析】解法一 如图,要使过点的直线与圆有公共点,则直线在PA与PB之间,因为,所以,则,所以直线的倾斜角的取值范围为故选D解法二 因为直线与圆有公共点,所以设:,即:,则圆心到直线的距离,得,即,故直线的倾斜角的取值范围是 【误区警示】求倾斜角时要注意斜率是否存在利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角的取值范围【典例5】在平面直角坐
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