相似三角形专题

【一】知识梳理【1】比例定义：四个量a,b,c,d中，其中两个量的比等于另两个量的比，那么这四个量成比例形式：a:b=c:d，性质：基本性质： ac=bd1、可以把比例式与等积式互化。2、可以验证四个量是否成比例注：比例式有顺序性的，比例线段没有负的，比例数有正有负4，比例中项： 【2】黄金分割 定义：如图点C是AB上一点，若，则点C是AB的黄金分割点，一条线段的黄金分割点有两个注意：如图ABC，A=36，AB=AC，这是一个黄金三角形，【3】平行线推比例上比全=上比全，下比全=下比全，上比下=上比下，左比右=左比右全比上=全比上，全比下=全比下 下比上=下比上【4】相似三角形1、相似三角形的判定AA相似：A=D, B=E ABCDEFS A S ABCDEFS S S ABCDEF 平行相似： DEBC ADEABC2、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比相似三角形的面积比等于相似比的平方3、相似三角形的常见图形A型图 X型图 K型图母子图 一般母子图 AC2=ADAB 母子图中的射影定理 AC2=ADAB BC2=BDAB CD2=ADBD【二】题型1、求线段的比求a比b的方法：求a,b的长度，设k法，利用三角形相似的性质，平行推比例线段比例分配【例题1】如图，直线l1l2l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，FAC与DF相较于点H，且AH=2，HB=1，BC=5则 的值为 【例题2】如图，已知在ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DEBC，EFAB，且ADDB = 35，那么CFCB等于 （1） （2）【例题3】如图，点D是ABC的边AB上一点，且AB=3AD，点P是ABC的外接圆上的一点，且ADP=ACB则PB:PD= 【例题4】如图，已知AD为ABC的角平分线，DEAB交AC于E，如果，那么（ ）A B C D （3） （4）【例题5】 已知，则= ，则= 【例题6】如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D的直线折叠，使点A与BC边上的点E重合，折痕交AB于点F.若BE:EC=m:n，则AF:FB= .【例题7】如图所示,将矩形ABCD折叠,使点B落在边AD上,点B与点F重合,折痕为AE,此时,矩形EDCF与矩形ABCD相似,则= .【例题8】如图，RtABC内接于O，,A=90，AB=4，AC=3，D为弧AB的中点，则= （6） （7） （8）【例题9】在RtABC中，ACB=90，CD为AB的中线，ANCD，交BC于N,若CD=3，AN=4，则tanCAN= 2、相似三角形的性质与判定【例题1】如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（ ）【例题2】如图，已知ABC，P是边AB上的一点，连结CP，以下条件中不能确定ACP与ABC相似的是（ ）A ACP=B， B APC=ACB C AC2=AP.AB D 【例题3】已知四边形ABCD与四边形A/B/C/D/，且AB:BC:CD:DA=20：15：9：8，若四边形A/B/C/D/为26，则A/B/的长为 【例题4】 如图，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置，则矩形ABCD的周长为 【例题5】如图，P为ABCD的边AD上一点，E,F分别为PB,PC的中点，PEF的面积为3，则平行四边形的面积是 已知两个相似三角形的对应高的比为3:10，面积差为100，则大三角形的面积为 【例题6】如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q出，EQ与BC相较于点G，则EBG的周长为 （4） （5） （6）【例题7】如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为多少?点拨：同一时刻、同一地点，物高与影长的比是 定值【例题8】如图，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EFDE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C设BE=x，BC=y，则y关于x的函数解析式是 3、相似三角形讨论方法1、固定一个角，按AA讨论，2、按夹相等角得两边的比值相等讨论【例题1】直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A、B两点，AOB绕点O按逆时针方向旋转90后得到COD，抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点（1）写出点A、B、C、D的坐标；（2）求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；（3）在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【例题2】已知二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（-5，0）和点B,其中点B在第一象限，且OA=OB，tanBAO=（1）求点B的坐标。（2）求二次函数的解析式。（3）过点B作直线BC平行于x轴，直线BC与二次函数图象的另一个交点为C，连结AC，如果点P在x轴上，且ABC和PAB相似，求点P的坐标。【例题3】如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长是4，点A，C分别在y轴、x轴的正半轴上，动点P从点A开始，以每秒2个单位长度的速度在线段AB上来回运动动点Q从点B开始沿BCO的方向，以每秒1个单位长度的速度向点O运动P，Q两点同时出发，当点Q到达点O时，两点同时停止运动设运动时间为t秒（I）当t1时，求PQ所在直线的解析式.（2）当点Q在BC上运动时，若以P，B，Q为顶点的三角形与OAP相似，求t的值.（3）在P，Q两点运动的过程中，若OPQ的面积为6，请直接写出所有符合条件的P点坐标【例题4】如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点M在第三象限，抛物线与x轴交于A、B 两点，与y轴负半轴交于点C，点A坐标为（3，0），点B坐标为（1，0）（1）试用含a的式子表示b，c；（2）连接AM、CM、CB，试说明OCB与四边形AMCO的面积之比是一个定值，并求出这个定值；（3）连接AC，若ACM=90，解决下列问题：求抛物线解析式并证明MAO=ACB；yOBCAxy=ax2+bx+cM线段AM上是否存在点D，使以点A、O、D为顶点的三角形与ACB相似？若存在，求出点D坐标；若不存在，说明理由【例题5】已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PEPF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t0）（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F，经过M、E和F三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由【例题6】在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A（-3，0）、B（1，0），过顶点C作CHx轴于点H.（1）直接填写： ， ，顶点C的坐标为 ；（2）在轴上是否存在点D，使得ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；ABHCABHC（备用图）（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQAC于点Q，当PCQ与ACH相似时，求点P的坐标. 【例题7】如图：在平面直角坐标系中，直线yx3与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线ykx8与直线AB相交于点D，与x轴相交于点C，过D作DEx轴于点E（1，0），点P（t ，0）为x轴上一动点若点T 为直线DE上一动点，当以O,B, T为顶点的三角形与以O,B, P为顶点的三角形相似时，则相应的点P（t<0）的坐标为 .【例题8】如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P从点O出发沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A运动，到达点A后立刻在以原来的速度沿AO返回；点Q从点A出发沿AC以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，过点Q作QD轴，垂足为D。点P、Q同时出发，当点Q到达点C时停止运动，点P也随之停止.设点P，Q的运动时间为.(1) 当点P从点O向点A运动的过程中，求面积S与t的函数关系式;(2) 当线段PQ与抛物线的对称轴没有公共点时，请直接写出t的取值范围;(3）当t为何值时，以P