2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用课时作业5函数的单调性与最值含解析苏教版153
课时作业5函数的单调性与最值一、选择题1(2020长春质监)下列函数中,在(0,)上单调递减的是(A)Ay22xByCylogDyx22xa解析:A中,y22x,令t2x,t2x在(0,)上单调递减,t(,2),y2t在(,2)上单调递增,y22x在(0,)上单调递减B中,y1,令tx1,tx1在(0,)上单调递增,t(1,),y1在(1,)上单调递增,y在(0,)上单调递增C中,yloglog2x在(0,)上单调递增D中,yx22xa图象的对称轴为直线x1,所以函数在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减故选A.2函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(D)A(,2)B(,1)C(1,)D(4,)解析:由x22x8>0,得x>4或x<2.因此,函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(,2)(4,)注意到函数yx22x8在(4,)上单调递增,由复合函数的单调性知,f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4,)3已知函数f(x)alog2(x2a)(a>0)的最小值为8,则(A)Aa(5,6)Ba(7,8)Ca(8,9)Da(9,10)解析:因为f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增,所以f(x)minf(0)alog2a8.令g(a)alog2a8,则g(a)在(0,)上单调递增,又g(5)5log258<0,g(6)6log268>0,所以a(5,6)故选A.4函数f(x)的单调递增区间是(C)A(,1)B(1,)C(,1),(1,)D(,1),(1,)解析:因为f(x)1,所以f(x)的图象是由y的图象沿x轴向右平移1个单位,然后沿y轴向下平移一个单位得到,而y的单调递增区间为(,0),(0,);所以f(x)的单调递增区间是(,1),(1,)故选C.5设偶函数f(x)的定义域为R,当x0,)时,f(x)是增函数,则f(2),f(),f(3)的大小关系是(A)Af()>f(3)>f(2)Bf()>f(2)>f(3)Cf()<f(3)<f(2)Df()<f(2)<f(3)解析:因为f(x)是偶函数,所以f(3)f(3),f(2)f(2)又因为函数f(x)在0,)上是增函数,所以f()>f(3)>f(2),即f()>f(3)>f(2)6若函数f(x)x2a|x|2,xR在区间3,)和2,1上均为增函数,则实数a的取值范围是(B)A.B6,4C3,2D4,3解析:由于f(x)为R上的偶函数,因此只需考虑函数f(x)在(0,)上的单调性即可由题意知函数f(x)在3,)上为增函数,在1,2上为减函数,故2,3,即a6,47函数y,x(m,n的最小值为0,则m的取值范围是(D)A(1,2)B(1,2)C1,2)D1,2)解析:函数y1,且在x(1,)时单调递减,在x2时,y0;根据题意x(m,n时,y的最小值为0,所以1m<2.8(2020福州质检)已知函数f(x)当xm,m1时,不等式f(2mx)<f(xm)恒成立,则实数m的取值范围是(B)A(,4)B(,2)C(2,2)D(,0)解析:易知函数f(x)在xR上单调递减,又f(2mx)<f(xm)在xm,m1上恒成立,所以2mx>xm,即2x<m在xm,m1上恒成立,所以2(m1)<m,解得m<2,故选B.9(2020兰州模拟)已知函数f(x)xln,af(),bf(),cf(),则以下关系成立的是(A)Ac<a<bBc<b<aCa<b<cDa<c<b解析:因为f(x)xlnxln(1x)ln(1x),所以f(x)(x)ln(1x)ln(1x)xln(1x)ln(1x)f(x),所以f(x)为偶函数,所以af()f()当0<x<1时,易知f(x)为增函数又>>,所以f()>f()>f(),即b>a>c,故选A.二、填空题10函数f(x)(x2,5)的最大值与最小值之和等于.解析:f(x)在2,5上是减函数,所以最大值为f(2)1,最小值为f(5),f(2)f(5).11设函数f(x)的最小值为2,则实数a的取值范围是3,)解析:当x1时,f(x)2,当x<1时,f(x)>a1.由题意知a12,所以a3.12已知奇函数f(x)在R上是增函数若af,bf(log24.1),cf(20.8),则a,b,c的大小关系为a>b>c.解析:f(x)在R上是奇函数,afff(log25)又f(x)在R上是增函数,且log25>log24.1>log242>20.8,f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),a>b>c.13(2020济南模拟)已知函数f(x)若f(x)的最小值为f(1),则实数a的取值范围是2,)解析:由题意可知要保证f(x)的最小值为f(1),需满足解得a2.三、解答题14已知函数f(x)(a>0,x>0)(1)求证:f(x)在(0,)上是增函数;(2)若f(x)在上的值域是,求a的值解:(1)证明:设x2>x1>0,则x2x1>0,x1x2>0,因为f(x2)f(x1)>0,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,)上是增函数(2)因为f(x)在上的值域是,又由(1)得f(x)在上是单调增函数,所以f,f(2)2,解得a.15(2020河南南阳月考)设函数f(x)ax2bx1(a,bR),F(x)(1)若f(1)0,且对任意实数x均有f(x)0成立,求F(x)的解析式;(2)在(1)的条件下,当x2,2时,g(x)f(x)kx是单调函数,求实数k的取值范围解:(1)f(1)0,ba1.由f(x)0恒成立,知a>0且方程ax2bx10中b24a(a1)24a(a1)20,a1,b2.从而f(x)x22x1.F(x)(2)由(1)可知f(x)x22x1,g(x)f(x)kxx2(2k)x1,由g(x)在2,2上是单调函数,知2或2,得k2或k6.即实数k的取值范围为(,26,)16(2020陕西西安八校联考)如果定义在R上的奇函数yf(x),对任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1),则称函数yf(x)为“H函数”下列函数为“H函数”的是(D)Af(x)sinxBf(x)exCf(x)x33xDf(x)x|x|解析:根据题意,对于任意的不相等实数x1,x2,都有x1f(x1)x2f(x2)>x1f(x2)x2f(x1)恒成立,则有(x1x2)f(x1)f(x2)>0恒成立,即函数f(x)是定义在R上的增函数,则“H函数”为奇函数且在R上为增函数对于A,f(x)sinx为正弦函数,为奇函数但不是增函数,不符合题意;对于B,f(x)ex为指数函数,不是奇函数,不符合题意;对于C,f(x)x33x为奇函数,但在R上不是增函数,不符合题意;对于D,f(x)x|x|为奇函数且在R上为增函数,符合题意故选D.17(2020郑州质量预测)设函数f(x)2ln(x)3x3(2<x<2),则使得f(2x)f(4x3)>0成立的x的取值范围是(B)A(1,1)B(,1)C(,1)D(,)解析:因为f(x)2ln(x)3x3,2<x<2,f(x)f(x)2ln(x3x32ln(x)3(x)32ln(x)ln(x)2ln10,所以f(x)为奇函数易得f(x)在(2,2)上单调递增所以f(2x)f(4x3)>0可转化为f(2x)>f(4x3)f(34x),则由题意,得解得<x<1.故选B.18已知函数f(x)lg,其中a是大于0的常数(1)求函数f(x)的定义域;(2)当a(1,4)时,求函数f(x)在2,)上的最小值;(3)若对任意x2,)恒有f(x)>0,试确定a的取值范围解:(1)由x2>0,得>0,当a>1时,x22xa>0恒成立,定义域为(0,);当a1时,定义域为x|x>0且x1;当0<a<1时,定义域为x|0<x<1或x>1(2)设g(x)x2,当a(1,4),x2,)时,g(x)1>0恒成立,所以g(x)x2在2,)上是增函数所以f(x)lg在2,)上是增函数所以f(x)lg在2,)上的最小值为f(2)lg.(3)对任意x2,)恒有f(x)>0,即x2>1对任意x2,)恒成立所以a>3xx2,令h(x)3xx2,而h(x)3xx22在2,)上是减函数,所以h(x)maxh(2)2,所以a>2.即a的取值范围为(2,)5