2021年高考[数学]一轮复习考点17 平面向量的线性运算与基本定理（教师版）

2021年高考考点扫描高考一轮考点扫描真题剖析逐一击破 考点17 平面向量的线性运算与基本定理【考点剖析】1.最新考试说明：（1）掌握向量加法、减法的运算 ,并理解其几何意义【2020四川达州高三三模】在中 , , ,的最小值是（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用相反向量将向量的加法转化为向量的减法 ,利用向量的减法的模的几何意义求得最小值.【详解】,令 ,则为直线上的动点 ,如图所示 , ,当直线时 ,取得最小值 , , , .（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义 ,理解两个向量共线的含义【2020新疆天山乌市八中高三】设向量,若,则实数的值为( )A1B2C3D4【答案】B【解析】【分析】首先求出的坐标 ,再根据平面向量共线定理解答.【详解】 ,因为,所以,解得.【点睛】本题考查平面向量共线定理的应用 ,属于基础题.【2020甘肃省静宁县第一中学高三】若向量与平行 ,则（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据向量平行得到 ,故 ,计算得到答案.【详解】向量与平行 ,则 ,故 ,.（3）了解平面向量基本定理及其意义 ,会用平面向量基本定理解决简单问题【2020安徽马鞍山高三三模】在中 ,为上一点 ,且 , ,若 ,则（ ）A ,B ,C ,D ,【答案】C【解析】【分析】利用 ,进一步用表示 ,然后简单计算判断即可.【详解】由题可知： , ,则为在上靠近点的三等分点 ,为的中点所以 ,又 ,所以所以 ,【2020上海高三专题】在中 ,设是边上一点 ,且满足 , ,则的值是_.【答案】0【解析】【分析】由题意结合平面向量的性质可得 ,根据平面向量线性运算法则可得 ,再由平面向量基本定理即可得解.【详解】由题意画出图形 ,如图： , ,由、不共线可得 , ,.（4）掌握平面向量的正交分解及坐标表示【2020湖南雁峰衡阳市八中高三】已知向量 ,和在正方形网格中的位置如图所示 ,若 ,则（ ）A.2 B. C.3 D.【答案】A【解析】以为坐标原点 ,为轴 ,建立坐标系 ,则 ,由 ,得 ,即【2020南京市玄武高级中学】给定两个长度为1的平面向量 和 ,它们的夹角为.如图所示 ,点C在以O为圆心 ,1为半径的圆弧AB上运动若xy ,其中x ,yR ,则xy的最大值为_【答案】2【解析】以O为坐标原点 ,所在的直线为x轴建立平面直角坐标系 ,如图所示 ,则A(1,0) ,B.设AOC ,则C(cos ,sin ) ,由xy ,得所以所以xycos sin 2sin.又 ,所以当时 ,xy取得最大值2.（5）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算【2020江苏高三其他】已知向量 , ,.若向量与向量共线 ,则实数_.【答案】【解析】【分析】利用向量的坐标运算求得向量的坐标 ,然后利用平面向量共线的充分必要条件求解.【详解】向量 , ,向量,又 ,且向量与向量共线 ,解得,（6）理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 【2020河南宛城南阳中学】已知平面向量 ,且 ,则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为 , ,且 ,所以 , ,故选B.【2020河南高三月考】若（） , ,且（） ,则（ ）A0BCD【答案】D【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示可得 ,再根据平面向量数量积的坐标表示可得结果.【详解】 ,所以 ,解得 , , , , ,.2.命题方向预测：（1）平面向量的线性运算是考查重点共线向量定理的理解和应用是重点 ,也是难点题型以选择题、填空题为主 ,常与解析几何相联系.（2）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点向量的坐标运算可能单独命题 ,更多的是与其他知识点交汇 ,其中以与三角和解析几何知识结合为常见常以选择题、填空题的形式出现 ,难度为中、低档.3.课本结论总结：（1）向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量 ,两个向量不能比较大小.零向量：模为0的向量 ,记作 ,其方向为任意的 ,所以与任意向量平行 ,其性质有：=0 ,+=.单位向量：模为1个长度单位的向量 ,与方向相同的单位向量为.相等向量：长度相等且方向相同的向量 ,记作=.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量 ,的相反向量为- ,有-(- )= .(2)向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：abba. (2)结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当>0时 ,a的方向与a的方向相同；当<0时 ,a的方向与a的方向相反；当0时 ,a0(a)()a；()aaa；(ab)ab(3) 平面向量基本定理若、是平面内不共线的向量 ,向量是平面内任意一个向量 ,则存在唯一实数对 ,使.(4) 共线向量共线向量概念：若两个非零向量、的方向相同或相反 ,则称与共线 ,也叫与平行 ,规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行. 共线向量定理：（）存在唯一实数 ,使得=. 若=（ ,） ,=（ ,） ,则-=0.(5) 平面向量的基本运算若=（ ,） ,=（ ,） ,则=（ ,） ,=（ ,） ,若A（ ,） ,B（ ,） ,则=（- ,-）.4.名师二级结论：（1）若A、B、C三点共线且 ,则=1.（2）若向量不共线 , ,则（3）C是线段AB中点的充要条件是.(4)若 ,则线段AB的中点坐标为（）.(4)G是ABC的重心的充要条件为.(5)若ABC的三个顶点坐标分别为 ,则ABC重心坐标为(6)已知 ,且 ,则点C的坐标为.5.课本经典习题：(1)新课标A版第92页 ,习题A组第12 题在ABC中 , ,DEBC ,且与边AC相交于点E ,ABC的中线AM与DE相交于点N ,设 ,= ,用 ,分别表示向量.【经典理由】本题考查了平面向量的加法、减法、实数与向量积等线性运算 ,具有代表性. (2) 新课标A版第101页 ,第7 题已知A（2,3） ,B（4 ,-3） ,点P在线段AB的延长线上 ,且,求点P的坐标.【经典理由】本题考查了平面向量实数与向量积的坐标运算及数形结合思想 ,是经典题型.6.考点交汇展示：（1）与解三角形交汇【2020南京市玄武高级中学高三】已知的三内角、所对边长分别为是、 ,设向量 , ,若 ,则角的大小为_.【答案】【解析】【分析】利用两向量平行的充要条件求出三角形的边与角的关系 ,利用正弦定理将角化为边 ,再利用余弦定理求出B的余弦 ,即可求出角【详解】向量 , ,若 , ,由正弦定理知： ,即 ,由余弦定理知： ,cosB ,B（0 ,） ,B【2020全国高三课时】已知a ,b ,c分别是ABC的内角A ,B ,C所对的边 ,点M为ABC的重心若ab ,则C（ ）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据重心的性质： ,得 ,又 ,根据平面向量基本定理可得 ,然后根据余弦定理可求得结果.【详解】M为ABC的重心 ,则 , ,ab ,所以 , ,所以 ,所以 ,因为 ,所以. (2)三角函数交汇【2019河北路南唐山一中高三】已知向量 , , ,且 ,则（ ）ABCD【答案】C【解析】 ,解得： , , 。【2017江苏 ,16】 已知向量 （1）若ab,求x的值； （2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时 ,取得最大值 ,为3； 时 ,取得最小值 ,为.（2）.因为 ,所以 ,从而.于是 ,当 ,即时 ,取到最大值3；当 ,即时 ,取到最小值.(3)与平面几何交汇【2017浙江 ,10】如图 ,已知平面四边形ABCD ,ABBC ,ABBCAD2 ,CD3 ,AC与BD交于点O ,记 , , ,则ABC D【答案】C【解析】【2020江苏高三其他】如图 ,在平行四边形中 , 分别为的中点 ,与交于点.若 ,则的余弦值为_.【答案】【解析】【分析】设 , ,确定点位置 ,又 ,将其它向量全部用基底表示出来 ,再化简可得答案.【详解】设 , ,则 , ,得 , ,又 ,得 ,则 ,得 ,得 , ,设则 ,由 ,有得 ,得.【考点分类】热点1 平面向量的线性运算1（2020甘肃靖远高三）在中 ,点在线段上 ,且 ,为的中点 ,则（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算、加法、减法即可求解.【详解】由题意可得 ,因为为的中点 ,所以 ,故.2（2020安徽蚌埠高三）在ABC中 ,D为BC上一点 ,E为线段AD的中点 ,若2 ,且 ,则xy（ ）ABCD【答案】B【解析】【分析】由图可知 ,而E为线段AD的中点 ,则 ,由三角形法则可知 , ,又因为2 ,所以 ,然后等量代换 ,可用表示出 ,从而可求出的值【详解】由图可知 , ,因为E为线段AD的中点 ,所以 ,因为2 ,所以 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,3.如图 ,正方形中 ,点是的中点 ,点 是的一个三等分点 ,那么等于（ ）A BC D【答案】D【解析】根据向量加法、减法的三角形法则可知,故选D.【方法规律】1. 判定两向量的关系式时 ,特别注意以下两种情况：（1） 零向量的方向及与其他向量的关系.（2） 单位向量的长度与方向.2. 对任意向量可以自由移动 ,且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.3. 向量不能比较大小 ,但它的模可以比较大小4. 在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中 ,运用三角形法则构成“首尾相连”回路 ,或平行四边形法则 ,利用三角形中的中位线 ,相似三角形对应边成比例等平面几何知识 ,结合实数与向量的积 ,逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.5. 当是线段AB的中点时 ,则=是中点公式的向量形式 ,应当做公式记忆.6. 当已知向量的坐标或易建立坐标系时 ,常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题.【解题技巧】1.进行向量运算时 ,要尽可能地将它们转化到平行四