高三数学一轮复习讲义 等差数列及其前n项和 新人教A版

等差数列及其前n项和自主梳理1等差数列的有关定义(1)一般地，如果一个数列从第_2_项起，每一项与它的前一项的_差_等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为_ an1and _ (nN*，d为常数)(2)数列a，A，b成等差数列的充要条件是_ A_，其中A叫做a，b的_等差中项_2等差数列的有关公式(1)通项公式：an_ a1(n1)d_，anam_ (nm)d _ (m，nN*)(2)前n项和公式：Sn_ na1d _.3等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.4等差数列的性质(1) 若mnpq (m，n，p，qN*)，则有_amanapa q _，特别地，当mn2p时，_ aman2ap _.(2) 若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为_2d _(3) 若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为_ md _的等差数列.(4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列.(5) 等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为_递增数列_；若d<0，则数列为_递减数列_；若d0，则数列为_常数列_(6)等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列(7)S2n1(2n1)an.(8)若n为偶数，则S偶S奇d.若n为奇数，则S奇S偶a中(中间项).5.等差数列的最值在等差数列an中，a1>0，d<0，则Sn存在最_值；若a1<0，d>0，则Sn存在最_值. 大小6方法与技巧等差数列的判断方法有：(1)定义法：an1and (d是常数)an是等差数列(2)中项公式：2an1anan2 (nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq (p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列(5)在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为a，ad，a2d；ad，a，ad；ad，ad，a3d等可视具体情况而定 (6)在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，通过建立方程(组)获得解.自我检测1已知等差数列an中，a5a9a710，记Sna1a2an，则S13的值为 ()A130B260C156D1682等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d等于 ()A1B.C2D33设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于 ()A1B1C2D.4若等差数列an的前5项之和S525，且a23，则a7等于 ()A12B13C14D155设an为等差数列，公差d2，Sn为其前n项和，若S10S11，则a1等于()A.18 B.20 C.22 D.246.设等差数列an的前n项和为Sn.若S972，则a2a4a9_24_.7.有两个等差数列2,6,10，190及2,8,14，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列an的通项公式an_.12n10_.8.已知两个数列x，a1，a2，a3，y与x，b1，b2，y都是等差数列，且xy，则的值为_.9数列an是等差数列，若1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n()A11 B17 C19 D21解析由题意，可知数列an的前n项和Sn有最大值，所以公差小于零，故a11a10，又因为1，所以a100，a11a10，由等差数列的性质有a11a10a1a200，a10a10a1a190，所以Sn取得最小正值时n19.题型一等差数列的基本量的计算例1等差数列an的前n项和记为Sn.已知a1030，a2050，(1)求通项an； (2)若Sn242，求n.解(1)由ana1(n1)d，a1030，a2050，得方程组解得所以an2n10.(2)由Snna1d，Sn242. 得12n2242.解得n11或n22(舍去)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150.(1)若S55，求S6及a1； (2)求d的取值范围.解(1)由题意知S63， a6S6S58.所以解得a17，所以S63，a17.(2)方法一S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.因为关于a1的一元二次方程有解，所以81d28(10d21)d280，解得d2或d2.方法二S5S6150，(5a110d)(6a115d)150，即2a9da110d210.故(4a19d)2d28.所以d28.故d的取值范围为d2或d2.探究提高(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.变式训练1设等差数列an的公差为d (d0)，它的前10项和S10110，且a1，a2，a4成等比数列，求公差d和通项公式an.解由题意，知即d0，a1d.解得a1d2，an2n.已知等差数列an中，a11，a33.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列an的前k项和Sk35，求k的值.解(1)设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d.由a11，a33，可得12d3，解得d2.从而an1(n1)(2)32n.(2)由(1)可知an32n，所以Sn2nn2.由Sk35，可得2kk235，即k22k350，解得k7或k5. 又kN*，故k7.题型二等差数列的判定或证明例2已知数列an中，a1，an2 (n2，nN*)，数列bn满足bn (nN*). (1)求证：数列bn是等差数列； (1)证明an2 (n2，nN*)，bn.n2时，bnbn11.又b1.数列bn是以为首项，1为公差的等差数列.(2)解由(1)知，bnn，则an11，设函数f(x)1，易知f(x)在区间和内为减函数.当n3时，an取得最小值1；当n4时，an取得最大值3.探究提高1证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：an1and；(2)等差中项法：2an1anan2.就本例而言，所用方法为定义法.2解选择、填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断(1)通项法：若数列an的通项公式为n的一次函数，即anAnB，则an是等差数列(2)前n项和法：若数列an的前n项和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常数)，则an为等差数列3若判断一个数列不是等差数列，则只需说明任意连续三项不是等差数列即可变式训练2(1)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Sn (n2)，a12.求证：是等差数列； 求an的表达式. 证明由Sn，得2，2，是以即为首项，以2为公差的等差数列. 解由知(n1)22n，Sn，当n2时，anSnSn1；当n1时，a12不适合an，故an(2)已知数列an中，a15且an2an12n1(n2且nN*)求a2，a3的值 是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说解a15，a22a122113， a32a223133.假设存在实数，使得数列为等差数列设bn，由bn为等差数列，则有2b2b1b3.2.，解得1.事实上，bn1bn(an12an)1(2n11)11.综上可知，存在实数1，使得数列为首项为2、公差为1的等差数列题型三等差数列性质的应用例3若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数解方法一设此等差数列为an共n项，依题意有a1a2a3a4a534，anan1an2an3an4146. 根据等差数列性质，得a5an4a4an3a3an2a2an1a1an.将两式相加，得(a1an)(a2an1)(a3an2)(a4an3)(a5an4)5(a1an)180，a1an36.由Sn360，得n20.所以该等差数列有20项方法二设此等差数列共有n项，首项为a1，公差为d，则S55a1d34，SnSn5na1(n5)a1d5a1(5n15)d146.两式相加可得10a15(n1)d180，a1d18，代入Snna1dn360，得18n360，n20. 所以该数列的项数为20项变式训练3已知数列an是等差数列(1)若Sn20，S2n38，求S3n；(2) 若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数解(1) Sn，S2nSn，S3nS2n成等差数列，S3n3(S2nSn)54. (2) 设项数为2n1 (nN*)，则奇数项有n项，偶数项有n1项，中间项为an，则S奇nan44，S偶(n1)an33，.n4，an11.数列的中间项为11，项数为7.题型四等差数列的前n项和及综合应用例4(1)在等差数列an中，已知a120，前n项和为Sn，且S10S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值；(2)已知数列an的通项公式是an4n25，求数列|an|的前n项和.解(1)方法一a120，S10