2020年中考数学辅导之考点讲解与真题集训专题02《等腰三角形》

1.等腰三角形相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形（正三角形）；等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形分为腰和底边不等的等腰三角形和等边三角形两种.2.等腰三角形、等边三角形的性质和判定性质判定等腰三角形（1）两腰相等，两底角相等（2）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一）（3）轴对称图形，底边的中垂线或顶角的角平分线所在直线是对称轴，它有一条对称轴（1）有两边相等（定义法）（2）有两角相等等边三角形（1）三边都相等（2）三角都相等，是60（3）轴对称图形，每条边上的“三线合一”所在直线都是对称轴，它有三条对称轴（1）三边都相等（定义法）（2）三角都相等（3）有一个角等于60的等腰三角形考点1 等腰三角形的性质例1-1 （2018湖州）如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若AB=AC，CAD=20，则ACE的度数是（）A20B35C40D70【答案】B【解析】AD是ABC的中线，AB=AC，CAD=20，CAB=2CAD=40，B=ACB=（180CAB）=70CE是ABC的角平分线，ACE=ACB=35故选：B学#科网方法归纳 等腰；底边上的高底边上的中线；顶角的角平分线，这四个元素中，从中任意取两个元素作已知，就可以得到另外两个元素（结论）例1-2 已知等腰ABC中，ADBC于点D，且ADBC，则ABC底角的度数为 度【答案】45或75或15. 如解图，ACBC，AD在ABC外部，ADBC，AD= BC= AC，ACD=30，ACB=150，CAB=B=15，此时ABC底角的度数为15. 学科%网综上，ABC底角的度数为45或75或15.故填45或75或15.方法归纳 确定顶角和底角，当已知等腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还是底角，分情况进行讨论考点2 等腰三角形的性质与判定综合运用来源:Zxxk.Com例2 如图，已知点A、C分别在GBE的边BG、BE上，且AB=AC，ADBE，GBE的平分线与AD交于点D，连接CD来源:Z+xx+k.Com来源:学。科。网（1）求证：AB=AD；CD平分ACE（2）猜想BDC与BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明【分析】：（1）根据平行线的性质得到ADB=DBC，由角平分线的定义得到ABD=DBC，等量代换得到ABD=ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；根据平行线的性质得到ADC=DCE，由知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到ACD=ADC，求得ACD=DCE，即可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到DBC=ABC，DCE=ACE，由于BDC+DBC=DCE于是得到BDC+ABC=ACE，由BAC+ABC=ACE，于是得到DC+ABC=ABC+BAC，即可得到结论【解析】：（1）ADBE，ADB=DBC，BD平分ABC，ABD=DBC，ABD=ADB，AB=AD；ADBE，ADC=DCE，由知AB=AD，又AB=AC，AC=AD，ACD=ADC，ACD=DCE，CD平分ACE；来源:学科网方法归纳 （1）判断一个三角形是否是等腰三角形，经常要进行角的计算，而三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线（平行线+角平分线=等腰三角形）等，都为角的计算提供了依据，所以运用等腰三角形的判定，要把这几类问题联系起来.（2）对于运用性质的证明计算题，加强对图形的分析、发现、挖掘等腰三角形、全等三角形，用相同或相等角的代数式表示，从而比较其大小是本题的解题关键.因为“三线合一”这个性质，有时也综合运用勾股定理、角平分线的性质等知识.若有和角平分线垂直的线段时，常把它延长与角的两边相交构造等腰三角形考点3 等边三角形的性质与判定例3 如图,在等边ABC中，ABC与ACB的平分线相交于点O，且ODAB，OEAC（1）试判定ODE的形状,并说明你的理由（2）线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你理由【分析】（1）通过平行线转化到角（三角形的内角有两个60就是等边三角形）；（2）根据ODE是等边三角形，可得DE=OD=OE，再把OD、OE分别转化到BD、CE上即可. 学科*网（2）ABC与ACB的平分线相交于点O，ABO=OBD,ACO=OCD,又ODAB，OBD=ABO=BOD.BD=OD,OEAC，ACO=OCD =COE,CE=OE,由(1)知ODE是等边三角形,OD=DE=OE,即BD=DE=EC.方法归纳 等边三角形的性质考查往往和四边形或多边形综合，注意灵活运用三边相等，三个角都是60，还需注意的是在等边三角形中连结两腰所得的线段，如果和另一边平行，那么这条线段截得的三角形也是等边三角形.1.（2018湖州）如图，AD，CE分别是ABC的中线和角平分线若AB=AC，CAD=20，则ACE的度数是（）A20B35C40D70【答案】B 2.（2018淄博）如图，在RtABC中，CM平分ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且MN平分AMC，若AN=1，则BC的长为（）A4B6CD8【答案】B【解析】在RtABC中，CM平分ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且MN平分AMC，AMN=NMC=B，NCM=BCM=NMC，ACB=2B，NM=NC，B=30，AN=1，MN=2，AC=AN+NC=3，BC=6，故选：B3.（2018宿迁）若实数m、n满足等式|m2|+=0，且m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长，则ABC的周长是（）A12B10C8D6【答案】B 来源:Zxxk.Com3.（2018成都）等腰三角形的一个底角为50，则它的顶角的度数为80【答案】80【解析】等腰三角形底角相等，180502=80，顶角为80故填80学科.网4.（2018长春）如图，在ABC中，AB=AC以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD若A=32，则CDB的大小为37度【答案】37【解析】AB=AC，A=32，ABC=ACB=74，又BC=DC，CDB=CBD=ACB=37故答案为：375.（2018吉林）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为36度【答案】36 6.（2018桂林）如图，在ABC中，A=36，AB=AC，BD平分ABC，则图中等腰三角形的个数是3【答案】3【解析】AB=AC，A=36ABC是等腰三角形，ABC=ACB=72，BD平分ABC，EBD=DBC=36，在ABD中，A=ABD=36，AD=BD，ABD是等腰三角形，在ABC中，C=ABC=72，AB=AC，ABC是等腰三角形，在BDC中，C=BDC=72，BD=BC，BDC是等腰三角形，所以共有3个等腰三角形故答案为：37.（2018天津）如图，在边长为4的等边ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EFAC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为【答案】G为EF的中点，EG=，DG=故答案为：学科网8.（2018黑龙江）如图，已知等边ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边AB1C1；再以等边AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边AB2C2；再以等边AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；，记B1CB2的面积为S1，B2C1B3的面积为S2，B3C2B4的面积为S3，如此下去，则Sn=（）n【答案】（）n9.（2018湖北省孝感）如图，ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：作BAC的平分线AM交BC于点D；作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；连接PB，PC请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是PA=PB=PC；（2）若ABC=70，求BPC的度数（2）AB=AC，ABC=ACB=70，BAC=180270=40，AM平分BAC，BAD=CAD=20，PA=PB=PC，ABP=BAP=ACP=20，BPC=ABP+BAC+ACP=20+40+20=80学%科网10.（2018绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，A=110，求B的度数（答案：35）例2 等腰三角形ABC中，A=40，求B的度数，（答案：40或70或100）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC中，A=80，求B的度数（1）请你解答以上的变式题（2）解（1）后，小敏发现，A的度数不同，得到B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设A=x，当B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围【解析】（1）若A为顶角，则B=（180A）2=50；若A为底角，B为顶角，则B=180280=20；若A为底角，B为底角，则B=80；故B=50或20或80； 11.如图，点O是等边ABC内一点，AOB=110，BOC=a以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD（1）当a=150时，试判断AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，AOD是等腰三角形？【解析】（1）OCD是等边三角形，OC=CD，而ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=OCD=60，BCO=ACD，BOCADC，BOC=AOD，学&科网而BOC=a=150，ODC=60，ADO=150-60=90，ADO是直角三角形；