直角三角形的存在性问题解题策略-2011中考压轴题.pdf

数学试卷第1 页( 共 4 页) 直角三角形的存在性问题解题策略 1.（遵义市2011）27 （14 分）已知抛物线)0( 3 2 abxaxy经过 A(3，0), B(4，1) 两点，且与y 轴交于点C。 （1）求抛物线 )0( 3 2 abxaxy的函数关系式及点C的坐标； （2）如图（ 1）, 连接 AB ，在题（ 1）中的抛物线上是否存在点P，使 PAB是以 AB为直角 边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（ 2）, 连接 AC ， E为线段 AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的 圆交直线AB于点 F，当 OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标。 考点：二次函数综合题。 分析： （1）根据 A（3，0） ，B（ 4，1）两点利用待定系数法求二次函数解析式； （ 2）从当 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，且PAB=90 与当 PAB 是以 AB 为直角 边的直角三角形，且PBA=90 ，分别求出符合要求的答案； （ 3）根据当OEAB 时， FEO 面积最小，得出OM=ME ，求出即可 解答：解：（1）抛物线 y=ax2+bx+3（a0 ）经过 A（3，0） ，B（4，1）两点， 错误！未找到引用源。， 解得： 错误！未找到引用源。， y=错误！未找到引用源。x 2错误！未找到引用源。 x+3； 点 C 的坐标为：（0，3） ； （ 2）当 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，且PAB=90 ， A（3，0） ，B（4，1） ， 数学试卷第2 页( 共 4 页) AM=BM=1 ， BAM=45 ， DAO=45 ， AO=DO ， A 点坐标为（ 3，0） ， D 点的坐标为： （0， 3） ， 直线 AD 解析式为： y=kx+b ，将 A， D 分别代入得： 0=3k+b ，b=3， k= 1， y= x+3， y=错误！未找到引用源。x 2错误！未找到引用源。 x+3=x+3， x 23x=0 ， 解得： x=0 或 3， y=3 或 0（不合题意舍去） ， P 点坐标为（ 0，3） ， 当 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形，且PBA=90 ， 由 （ 1） 得 ， FB=4 ， FBA=45 ， DBF=45 ，DF=4， D 点坐标为：（0，5） ，B 点坐标为：（4，1） ， 直线 AD 解析式为： y=kx+b ，将 B，D 分别代入得： 1=4k+b ，b=5， k= 1， y= x+5， y=错误！未找到引用源。x 2错误！未找到引用源。 x+3=x+5， x 23x4=0， 解得： x1= 1，x2=4， y1=6， y2=1， P 点坐标为（1，6） ， （4， 1） ， 点 P 的坐标为：（ 1，6） ， （ 4， 1） ， （0，3） ； 数学试卷第3 页( 共 4 页) （ 3）作 EMBO， 当 OEAB 时， FEO 面积最小， EOM=45 ， MO=EM ， E 在直线 CA 上， E 点坐标为（ x， x+3） ， x= x+3， 解得： x=错误！未找到引用源。 ， E 点坐标为（ 错误！未找到引用源。 ，错误！未找到引用源。 ） 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综 合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们 应重点掌握 2.（2010 年广东省中山）22如图（ 1） ， （2）所示，矩形ABCD 的边长 AB=6， BC=4，点 F 在 DC 上， DF=2。动点 M、N 分别从点D、B 同时出发，沿射线DA 、线段 BA 向点 A 的 方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上） ，当动点N 运动到点A 时， M、N 两点同时停 止运动。连接FM、FN，当 F、N、M 不在同一直线时，可得 FMN ，过 FMN 三边的中点 数学试卷第4 页( 共 4 页) 作 PQW。设动点M、N 的速度都是1 个单位 /秒， M、N 运动的时间为x 秒。试解答下列 问题： （ 1）说明 FMN QWP； （ 2）设 0 x4 （即 M 从 D 到 A 运动的时间段） 。试问 x 为何值时， PQW 为直角三角形？ 当 x 在何范围时， PQW 不为直角三角形？ （ 3）问当 x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值。 【答案】解：（1）由题意可知P、 W、Q 分别是 FMN 三边的中点， PW 是 FMN 的中位线，即PWMN FMN QWP （2）由题意可得 DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x， 由勾股定理分别得 2 FM= 2 4x， 2 MN= 2 )4(x+ 2 )6(x 2 FN= 2 )4(x+16 当 2 MN= 2 FM+ 2 FN时， 2 )4(x+ 2 )6(x= 2 4x+ 2 )4(x+16 解得 3 4 x 当 2 FN= 2 FM+ 2 MN时， 2 )4(x+16= 2 4x+ 2 )4(x+ 2 )6(x 此方程无实数根 2 FM= 2 MN+ 2 FN时， 2 4x= 2 )4(x+ 2 )6(x+ 2 )4(x+16 解得10 1 x（不合题意，舍去） ，4 2 x 第 22 题图（ 1） A B M C F D N W P Q 第 22 题图（ 2） A B C D F M N W P Q 数学试卷第5 页( 共 4 页) 综上，当 3 4 x或4x时， PQW 为直角三角形； 当 0 x 3 4 或 3 4 x4 时， PQW 不为直角三角形 （3）当 0 x 4，即 M从 D到 A运动时，只有当x=4 时， MN的值最小，等于2； 当 4x 6 时， 2 MN= 2 AM+ 2 AN= 2 )4(x+ 2 )6(x = 2)5(2 2 x 当 x=5 时， 2 MN取得最小值2， 当 x=5 时，线段MN最短， MN=2 3.（达州市2011） 23、(10 分)如图，已知抛物线与x轴交于 A(1 ，0)，B（3，0）两点， 与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为P，连结 AC (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线上找一点D，使得 DC 与 AC 垂直，且直线DC 与x轴交于点 Q，求点 D 的坐 标； (3)抛物线对称轴上是否存在一点M，使得 SMAP=2SACP，若存在， 求出 M 点坐标；若不存 在，请说明理由 数学试卷第6 页( 共 4 页) 23、 （10 分）解（ 1）设此抛物线的解析式为：)( 21 xxxxay 抛物线与x轴交于 A（1， 0） 、B（)0 ,3两点， )3)(1(xxay 又抛物线与 y轴交于点 C（0，3） 3)30)(10(a， 3a )3)(1(xxy 即 32 2 xxy,3 分 用其他解法参照给分 （ 2）点 A（1， 0） ，点 C（0，3） OA=1， OC=3， DCAC ，OCx轴 QOC COA OA OC OC OQ ，即 1 3 3 OQ OQ=9，,4 分 又点 Q 在x轴的负半轴上，Q（)0, 9 设直线 DC 的解析式为：nmxy，则 09 3 nm n 解之得： 3 3 1 n m 数学试卷第7 页( 共 4 页) 直线 DC 的解析式为：3 3 1 xy,5 分 点 D 是抛物线与直线DC 的交点， 32 3 3 1 2 xxy xy 解之得： 9 20 3 7 1 1 y x 3 0 2 2 y x （不合题意，应舍去） 点 D（) 9 20 , 3 7 ,6 分 用其他解法参照给分 （ 3）如图，点M 为直线1x上一点，连结AM ，PC，PA 设点 M（),1 y，直线1x与x轴交于点E， AE=2 抛物线32 2 xxy的顶点为P，对称轴为1x P（)4, 1 PE=4 则 PM=y4 S四边形AEPC=S四边形 OEPC+SAOC =31 2 1 )43(1 2 1 =)37( 2 1 =5,7 分 又 S四边形 AEPC= SAEP+SACP S AEP=442 2 1 2 1 PEAE +SACP=145 ,8 分 SMAP=2SACP 1242 2 1 y 24y 2 1 y，6 2 y,9 分 故抛物线的对称轴上存在点M 使 SMAP=2SACP 点 M（)2, 1或)6, 1(,10 分 4.（宁波市2011 年） 25 （本题 10 分）阅读下面的情景对话，然后解答问题： E M 数学试卷第8 页( 共 4 页) E D A O B C 老师： 我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2 倍的三角形叫做奇异三 角形 小华：等边三角形一定是奇异三角形！ 小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？ （ 1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三 角形”是真命题还是假命题？ （ 2） 在 RtABC 中，ABc， ACb， BCa， 且 ba， 若 RtABC 是奇异三角形， 求 a: b: c； （ 3）如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上一点 (不与点 A、B 重合 )， D 是半圆 ADB 的中点， C、D 在直径 AB 的两侧，若在O 内 存在点 E，使 AEAD，CBCE 求证： ACE 是奇异三角形； 当 ACE 是直角三角形时，求AOC 的度数 (2010 湖北省荆门市 )24(本题满分12 分)已知：如图一次函数y 1 2 x 1 的图象与x 轴交 于点 A，与 y 轴交于点B；二次函数y 1 2 x 2bx c的图象与一次函数 y 1 2 x1 的图象 交于 B、C 两点，与x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为 (1，0) (1)求二次函数的解析式； (2)求四边形BDEC 的面积 S ； (3)在 x 轴上是否存在点P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出 所有的点 P，若不存在，请说明理由 24解： (1)将 B(0， 1)， D(1， 0)的坐标代入y 1 2 x 2bxc 得 1, 1 0. 2 c bc 得解析式 y 1 2 x 23 2 x1,3分 第 24 题图 数学试卷第9 页( 共 4 页) (2)设 C(x0，y0)，则有 00 2 000 1 1, 2 13 1. 22 yx yxx 解得 0 0 4, 3. x y C(4， 3),6 分 由图可知： SSACE SABD又由对称轴为x 3 2 可知 E(2，0) S 1 2 AE2 y0 1 2 AD3 OB 1 2 3 43 3 1 2 3 33 1 9 2 ,8 分 (3)设符合条件的点P 存在，令P(a，0) ： 当 P 为直角顶点时，如图：过C 作 CFx 轴于 F RtBOPRtPFC， BOOP PFCF 即 1 43 a a 整理得 a 24a30解得 a1 或 a3 所求的点P 的坐标为 (1，0)或(3，0) 综上所述：满足条件的点P 共有二个 ,12 分 5. （2010 年郴州市）如图（1） ，抛物线4 2 yxx与 y 轴交于点A，E（0，b）为 y 轴 上一动点，过点E 的直线yxb与抛物线交于点B、C. （ 1）求点 A 的坐标； （ 2)当 b=0 时（如图（ 2） ） ，ABE与ACE的面积大小关系如何？当4b时，上述关 系还成立吗，为什么？ （ 3）是否存在这样的b，使得BOC是以 BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若 不存在，说明理由. 第 24 题图 y x C