直角三角形的存在性问题解题策略-2011中考压轴题.pdf
13页1、数学试卷第1 页( 共 4 页) 直角三角形的存在性问题解题策略 1.(遵义市2011)27 (14 分)已知抛物线)0( 3 2 abxaxy经过 A(3,0), B(4,1) 两点,且与y 轴交于点C。 (1)求抛物线 )0( 3 2 abxaxy的函数关系式及点C的坐标; (2)如图( 1), 连接 AB ,在题( 1)中的抛物线上是否存在点P,使 PAB是以 AB为直角 边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图( 2), 连接 AC , E为线段 AC上任意一点(不与A、C重合)经过A、E、O三点的 圆交直线AB于点 F,当 OEF的面积取得最小值时,求点E的坐标。 考点:二次函数综合题。 分析: (1)根据 A(3,0) ,B( 4,1)两点利用待定系数法求二次函数解析式; ( 2)从当 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形,且PAB=90 与当 PAB 是以 AB 为直角 边的直角三角形,且PBA=90 ,分别求出符合要求的答案; ( 3)根据当OEAB 时, FEO 面积最小,得出OM=ME ,求出即可 解答:解:(1)抛物线 y=a
2、x2+bx+3(a0 )经过 A(3,0) ,B(4,1)两点, 错误!未找到引用源。, 解得: 错误!未找到引用源。, y=错误!未找到引用源。x 2错误!未找到引用源。 x+3; 点 C 的坐标为:(0,3) ; ( 2)当 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形,且PAB=90 , A(3,0) ,B(4,1) , 数学试卷第2 页( 共 4 页) AM=BM=1 , BAM=45 , DAO=45 , AO=DO , A 点坐标为( 3,0) , D 点的坐标为: (0, 3) , 直线 AD 解析式为: y=kx+b ,将 A, D 分别代入得: 0=3k+b ,b=3, k= 1, y= x+3, y=错误!未找到引用源。x 2错误!未找到引用源。 x+3=x+3, x 23x=0 , 解得: x=0 或 3, y=3 或 0(不合题意舍去) , P 点坐标为( 0,3) , 当 PAB 是以 AB 为直角边的直角三角形,且PBA=90 , 由 ( 1) 得 , FB=4 , FBA=45 , DBF=45 ,DF=4, D 点坐标为:(0,5) ,B 点坐标为:(4,1
3、) , 直线 AD 解析式为: y=kx+b ,将 B,D 分别代入得: 1=4k+b ,b=5, k= 1, y= x+5, y=错误!未找到引用源。x 2错误!未找到引用源。 x+3=x+5, x 23x4=0, 解得: x1= 1,x2=4, y1=6, y2=1, P 点坐标为(1,6) , (4, 1) , 点 P 的坐标为:( 1,6) , ( 4, 1) , (0,3) ; 数学试卷第3 页( 共 4 页) ( 3)作 EMBO, 当 OEAB 时, FEO 面积最小, EOM=45 , MO=EM , E 在直线 CA 上, E 点坐标为( x, x+3) , x= x+3, 解得: x=错误!未找到引用源。 , E 点坐标为( 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ) 点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式,二次函数的综 合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们 应重点掌握 2.(2010 年广东省中山)22如图( 1) , (2)所示,矩形ABCD 的边长 AB=6, BC=4,点 F 在 DC
4、 上, DF=2。动点 M、N 分别从点D、B 同时出发,沿射线DA 、线段 BA 向点 A 的 方向运动(点M 可运动到DA 的延长线上) ,当动点N 运动到点A 时, M、N 两点同时停 止运动。连接FM、FN,当 F、N、M 不在同一直线时,可得 FMN ,过 FMN 三边的中点 数学试卷第4 页( 共 4 页) 作 PQW。设动点M、N 的速度都是1 个单位 /秒, M、N 运动的时间为x 秒。试解答下列 问题: ( 1)说明 FMN QWP; ( 2)设 0 x4 (即 M 从 D 到 A 运动的时间段) 。试问 x 为何值时, PQW 为直角三角形? 当 x 在何范围时, PQW 不为直角三角形? ( 3)问当 x 为何值时,线段MN 最短?求此时MN 的值。 【答案】解:(1)由题意可知P、 W、Q 分别是 FMN 三边的中点, PW 是 FMN 的中位线,即PWMN FMN QWP (2)由题意可得 DM=BN=x,AN=6-x,AM=4-x, 由勾股定理分别得 2 FM= 2 4x, 2 MN= 2 )4(x+ 2 )6(x 2 FN= 2 )4(x+16 当 2 M
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