二阶微分方程教学案例

1,5.3 二阶微分方程,主要内容 1.可降阶的二阶微分方程 2.二阶常系数线性微分方程,2,一、可降阶的二阶微分方程,这类二阶微分方程的特点是，经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程，然后用前一节介绍的方法来求解,下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法.,3,就得到一个一阶微分方程，即,两边再积分，即连续积分两次就能得到方程（1）的通解,只要连续积分n次，即可得到含有n个任意常数的通解,两边积分，得,5,因而方程(3)就变为,这是一个关于变量 x , p 的一阶微分方程，可以用前一节所介绍的方法求解,6,例2,解,这是关于 p 的一阶线性非齐次微分方程因为,从而所求微分方程的通解为,于是,即,所以,7,例3,解,代入方程并分离变量后， 得,两端积分，得,再积分，得,即,所以,于是所求的特解为,8,为了求出它的解，,利用复合函数的求导法则，,于是方程(4)就变为,这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 .,设它的通解为,分离变量并积分，得方程(4)的通解为,9,例4,解,方程不显含自变量 x ，,代入方程，得,那么约去 p 并分离变量，得,两端积分并进行化简，得,再一次分离变量并积分，得,显然它也满足原方程,如果p0，,或,或,如果P = 0，,那么立刻可得 y = C，,所以方程的通解为,10,例5,解,两边积分，得,即为所求的满足初始条件的特解,代入原式，得,即,或,积分后，得,代入上式整理后得,11,二、二阶常系数线性微分方程,定义,下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法,方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程,方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.,12,1二阶常系数线性齐次微分方程的通解,定理1,这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性,叠加起来的解(7)从形式上看含有 与 两个任意常数，但它还不一定是方程(6)的通解,13,那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢？,为了解决这个问题，下面给出函数线性相关与线性无关的定义：,因此，当 时，,如果 不恒等于一个常数，,则 与 就是线性无关的,显然，对于两个线性相关的函数 和 ，恒有,对于两个都不恒等于零的函数 与 ，,那么把函数 与 叫做线性相关；否则就叫做线性无关,如果存在一个常数C使 ，,14,二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解结构定理：,由此可知，求二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解，,定理2,就是方程(6)的通解，其中 是任意常数,关键在于求出方程的两个线性无关的特解 和 ,而当 r 为常数时，指数函数 和它的各阶导数都只相差一个常数因子,因此，我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也是一个指数函数 ，只要求出 r ,便可得到方程(6)的解,如果函数 是常系数线性齐次微分方程(6)的两个线性无关的特解，那么,15,反之，若r是方程(8)的一个根，,特征方程的根称为特征根,方程(8)是以 r为未知数的二次方程，我们把它称为微分方程(6)的特征方程，,这就是说，如果函数 是方程(6)的解，那么 r 必须满足方程(8),将 和它的一、二阶导数 代入方程(6)，得到,因为，,则 是方程(6)的一个特解,其中 和 r 的系数，以及常数项恰好依次是微分方程(6)中 、 及 y 的系数,16,特征根是一元二次方程的根，,因此它有三种不同的情况：,(1)特征根是两个不相等的实根r1 r2 ，,且线性无关，,因此方程(2)的通解为:,（9),(2)特征根是两个相等的实根 r1= r2 ，,且线性无关，,所以方程(6)的通解为：,（10）,(3)特征根是一对共轭复根r1,2=i ，,这时 和 是方程(6)的两个特解，,但这两个解含有复数，,此时可以证明函数 和 也是方程(6)的解，,且它们线性无关,17,例6,解,所给方程的特征方程为,其对应的两个线性无关特解为,求 方程的通解,解得特征根为 ，,所以方程的通解为,18,例 7,解,为确定满足初始条件的特解，对 y 求导，得,求方程 的满足初始条件 和 的特解,所给方程的特征方程为,所以特征根为,因此方程的通解为,将初始条件 和 代入以上两式，得,解得,于是，原方程的特解为,19,例8,解,所以原方程的通解为,其对应的两个线性无关特解为,求方程 的通解,特征方程为,特征根为,20,综上所述，,两个不相等的实根,两个相等的实根,一对共轭复根,(3) 根据两个特征根的不同情况，按照下表写出微分方程(6)的通解：,(2) 求出特征方程的两个根 与 ；,(1) 写出方程对应的特征方程 ；,21,三、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解,定理3,Y是与方程（5）对应的齐次方程（6）的通解，那么,由这个定理可知：求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解，归结为求对应的齐次方程,22,它的一个特解也是一个多项式与指数函数的乘积，,下面讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解 的方法我们只讨论 f(x) 以下两种情形：,k是一个整数,其中 是一个与 有相同次数的多项式；,当 不是特征根时，k = 0 ;,当 是特征根，但不是重根时，k = 1 ;,当 是特征根，且为重根时，k = 2.,23,例9,解,求方程 的通解,该方程对应的齐次方程是,它的特征方程为,特征根是重根,于是得到齐次方程 的通解为,原方程中,其中 是一个一次多项式，,是特征方程的重根因此 k = 2 ,所以设原方程的特解为,24,代入原方程，化简得,比较等式两边同类项的系数，有,因此，原方程的特解为,于是原方程的通解为,求 的导数，得,解得 ,25,它的一个特解的形式为,注意：当二阶微分方程的特征方程有复数根时，决不会出现重根，所以在这里与前一种情形不一样，k不可能等于2,当 不是特征根时，,当 是特征根时，k = 1.,26,例10,解,所以可设方程的特解为,求导数，得,代入原方程，得,比较上式两边同类项的系数，得,于是，原方程的特解为,求方程 的一个特解.,因为 ，而 不是特征方程 的根，,27,作业,1.形如 方程解法,2.形如 方程解法,3.形如 方程解法,4.二阶常系数线性齐次微分方程解法,5.二阶常系数线性非齐次微分方程解法.,习题5.3 第一次2（1）（2） 第二次4（3）（5）5（3）（4）,四、小结,