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二阶微分方程教学案例

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  • 卖家[上传人]:yuzo****123
  • 文档编号:141021532
  • 上传时间:2020-08-03
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    • 1、1,5.3 二阶微分方程,主要内容 1.可降阶的二阶微分方程 2.二阶常系数线性微分方程,2,一、可降阶的二阶微分方程,这类二阶微分方程的特点是,经过适当的变换将二阶微分方程化为一阶微分方程,然后用前一节介绍的方法来求解,下面介绍三种可降阶的二阶微分方程的解法.,3,就得到一个一阶微分方程,即,两边再积分,即连续积分两次就能得到方程(1)的通解,只要连续积分n次,即可得到含有n个任意常数的通解,两边积分,得,5,因而方程(3)就变为,这是一个关于变量 x , p 的一阶微分方程,可以用前一节所介绍的方法求解,6,例2,解,这是关于 p 的一阶线性非齐次微分方程因为,从而所求微分方程的通解为,于是,即,所以,7,例3,解,代入方程并分离变量后, 得,两端积分,得,再积分,得,即,所以,于是所求的特解为,8,为了求出它的解,,利用复合函数的求导法则,,于是方程(4)就变为,这是一个关于变量 y , p 的一阶微分方程 .,设它的通解为,分离变量并积分,得方程(4)的通解为,9,例4,解,方程不显含自变量 x ,,代入方程,得,那么约去 p 并分离变量,得,两端积分并进行化简,得,再一次分离

      2、变量并积分,得,显然它也满足原方程,如果p0,,或,或,如果P = 0,,那么立刻可得 y = C,,所以方程的通解为,10,例5,解,两边积分,得,即为所求的满足初始条件的特解,代入原式,得,即,或,积分后,得,代入上式整理后得,11,二、二阶常系数线性微分方程,定义,下面来讨论二阶常系数线性微分方程的解法,方程(5)叫做二阶常系数线性微分方程,方程(5)叫做二阶常系数线性非齐次微分方程.,12,1二阶常系数线性齐次微分方程的通解,定理1,这个定理表明了线性齐次微分方程的解具有叠加性,叠加起来的解(7)从形式上看含有 与 两个任意常数,但它还不一定是方程(6)的通解,13,那么在什么情况下(7)式才是(6)式的通解呢?,为了解决这个问题,下面给出函数线性相关与线性无关的定义:,因此,当 时,,如果 不恒等于一个常数,,则 与 就是线性无关的,显然,对于两个线性相关的函数 和 ,恒有,对于两个都不恒等于零的函数 与 ,,那么把函数 与 叫做线性相关;否则就叫做线性无关,如果存在一个常数C使 ,,14,二阶常系数线性齐次微分方程(6)的通解结构定理:,由此可知,求二阶常系数线性齐次微分方

      3、程(6)的通解,,定理2,就是方程(6)的通解,其中 是任意常数,关键在于求出方程的两个线性无关的特解 和 ,而当 r 为常数时,指数函数 和它的各阶导数都只相差一个常数因子,因此,我们可以设想二阶常系数齐次方程式的特解也是一个指数函数 ,只要求出 r ,便可得到方程(6)的解,如果函数 是常系数线性齐次微分方程(6)的两个线性无关的特解,那么,15,反之,若r是方程(8)的一个根,,特征方程的根称为特征根,方程(8)是以 r为未知数的二次方程,我们把它称为微分方程(6)的特征方程,,这就是说,如果函数 是方程(6)的解,那么 r 必须满足方程(8),将 和它的一、二阶导数 代入方程(6),得到,因为,,则 是方程(6)的一个特解,其中 和 r 的系数,以及常数项恰好依次是微分方程(6)中 、 及 y 的系数,16,特征根是一元二次方程的根,,因此它有三种不同的情况:,(1)特征根是两个不相等的实根r1 r2 ,,且线性无关,,因此方程(2)的通解为:,(9),(2)特征根是两个相等的实根 r1= r2 ,,且线性无关,,所以方程(6)的通解为:,(10),(3)特征根是一对共轭复根r

      4、1,2=i ,,这时 和 是方程(6)的两个特解,,但这两个解含有复数,,此时可以证明函数 和 也是方程(6)的解,,且它们线性无关,17,例6,解,所给方程的特征方程为,其对应的两个线性无关特解为,求 方程的通解,解得特征根为 ,,所以方程的通解为,18,例 7,解,为确定满足初始条件的特解,对 y 求导,得,求方程 的满足初始条件 和 的特解,所给方程的特征方程为,所以特征根为,因此方程的通解为,将初始条件 和 代入以上两式,得,解得,于是,原方程的特解为,19,例8,解,所以原方程的通解为,其对应的两个线性无关特解为,求方程 的通解,特征方程为,特征根为,20,综上所述,,两个不相等的实根,两个相等的实根,一对共轭复根,(3) 根据两个特征根的不同情况,按照下表写出微分方程(6)的通解:,(2) 求出特征方程的两个根 与 ;,(1) 写出方程对应的特征方程 ;,21,三、二阶常系数线性非齐次微分方程的通解,定理3,Y是与方程(5)对应的齐次方程(6)的通解,那么,由这个定理可知:求二阶常系数线性非齐次微分方程的通解,归结为求对应的齐次方程,22,它的一个特解也是一个多项式与指数函

      5、数的乘积,,下面讨论求二阶常系数线性非齐次微分方程的一个特解 的方法我们只讨论 f(x) 以下两种情形:,k是一个整数,其中 是一个与 有相同次数的多项式;,当 不是特征根时,k = 0 ;,当 是特征根,但不是重根时,k = 1 ;,当 是特征根,且为重根时,k = 2.,23,例9,解,求方程 的通解,该方程对应的齐次方程是,它的特征方程为,特征根是重根,于是得到齐次方程 的通解为,原方程中,其中 是一个一次多项式,,是特征方程的重根因此 k = 2 ,所以设原方程的特解为,24,代入原方程,化简得,比较等式两边同类项的系数,有,因此,原方程的特解为,于是原方程的通解为,求 的导数,得,解得 ,25,它的一个特解的形式为,注意:当二阶微分方程的特征方程有复数根时,决不会出现重根,所以在这里与前一种情形不一样,k不可能等于2,当 不是特征根时,,当 是特征根时,k = 1.,26,例10,解,所以可设方程的特解为,求导数,得,代入原方程,得,比较上式两边同类项的系数,得,于是,原方程的特解为,求方程 的一个特解.,因为 ,而 不是特征方程 的根,,27,作业,1.形如 方程解法,2.形如 方程解法,3.形如 方程解法,4.二阶常系数线性齐次微分方程解法,5.二阶常系数线性非齐次微分方程解法.,习题5.3 第一次2(1)(2) 第二次4(3)(5)5(3)(4),四、小结,

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