{企业通用培训}某某某某竞赛培训讲稿1随机模型与假设检验

随机性模型选讲,理学院 数学教研部 郑继明 E-mail: ,20150718,1,Outline,1. 简单的随机性模型 2. 报童的卖报问题 传染病的随机感染 为什么航空公司要超订机票 假设检验,my教案,20150718,2,按建模时：确定性因素? 随机性因素?,随机因素可以忽略,(随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现),随机因素影响必须考虑,概率模型,统计回归模型,马氏链模型,数学模型分类,确定性模型,随机性模型,20150718,3,1 简单的随机性模型,1.1 取球问题,问题：盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从盒中任取3个，用后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。,20150718,4,分析：第二次取球是在第一次比赛之后，所以当第二次取球时盒中就不一定有9个新球了，因为第一次用的3个球可能有0、1、2、3个新球，所以第二次全取新球直接受这四种可能性的影响，可用全概率公式求解。,设A表示“第二次取出的球都是新球”的事件；,（i0,1,2,3）表示“第一次比赛时用了i个新球”,则得：,|,于是由全概率公式,|,20150718,5,1.2 电能供应问题,问题：某车间有耗电为5KW的机床10台，每台机床使用时是各自独立地且间隙地工作，平均每台每小时工作12min。该车间配电设备的容量为32KW，求该车间配电设备超载的概率。,20150718,6,分析：每台耗电量为5KW，而配电设备容量为32KW，显然，有七台或七台以上的机床同时工作时，设备会发生超载现象。下面求出现这种现象的概率。,观察10台完全相同的机床在同一时刻的工作情况与观察一台机床在10个时刻的工作情况是一样的。我们关心的问题是机床是否正在工作。,对于任一时刻，机床要么工作，要么不工作，只有两个结果，而10台机床的工作是相互独立的，每台机床正在工作的概率相同且 ，这是贝努利概型.,20150718,7,由二项分布知，“在同一时刻不少于七台机床同时工作”的概率,注：该车间设备超载的可能性(概率)是非常小的。,20150718,8,1.3 客车停站问题,问题：一辆送客汽车载有20位乘客从起点站开出，沿途有10个车站可以下车，若到达一个车站没有乘客下车就不停车，设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。,20150718,9,设随机变量X表示停车次数,则,因为每位乘客在每一车站下车是等可能的，所以每一位乘客在第i站不下车的概率为 ，,记,所以,20150718,10,从而得汽车平均停车次数：,20150718,11,1.4 蒲丰投针问题,问题：平面上画有等距离为 的一些平行线，向此平面任投一长为 的针，试求此针与任一平行线相交的概率。,以M表示针落下后的中点, x表示M到最近一条平行线的距离， 表示针与平行线的交角，如图,20150718,12,分析：有两种可能 (针与这些平行线中的某一根相交，或都不相交。),没有理由认为这两种可能性是一样大的。,用几何概率去解决。,基本事件区域,其面积为：,20150718,13,而A的面积为,针与平行线相交的充要条件是,故所求概率为,下面用MATLAB求解,20150718,14,注：rand(n)=rand(n,n),MATLAB相关知识,20150718,15,随机投掷均匀硬币，验证国徽朝上与朝下的概率是否都是 1/2 (稳定性),n=10000; % 给定试验次数 m=0; for i=1:n x=randperm(2)-1; y=x(1); if y=0 % 0 表示国徽朝上，1 表示国徽朝下 m=m+1; end end fprintf(国徽朝上的频率为：%fn,m/n);,试验一：投掷硬币,20150718,16,设某班有 m 个学生，则该班至少有两人同一天生日的概率是多少？,试验二：生日问题,20150718,17,n=1000; p=0; m=50; % 设该班的人数为 50 for t=1:n a=; q=0; for k=1:m b=randperm(365); a=a,b(1); end c=unique(a); if length(a)=length(c) p=p+1; end end fprintf(任两人不在同一天生日的频率为：%fn,1-p/n);,试验二源程序,20150718,18,clear; m = 50; p1= 1:365; p2= 1:365-m, 365*ones(1,m); p = p1./p2; p = 1- prod(p); fprintf(至少两人同一天生日的概率为：%fn,p);,试验二的理论值计算,20150718,19,20150718,20,function buffon(l,d,n) % l平行线间距 % d针长，n 为投针次数 m=0; for i=1:n alpha=rand(1)*pi; y=rand(1)*d/2; if y<=l/2*sin(alpha) m=m+1; end end fprintf(针与平行线相交的频率为：%fn,m/n); fprintf(计算出来的 pi 为：%fn,2*n*l/(m*d);,源程序2.1,20150718,21,function pai,number=buffon1(a,b,N) % a，b分别为平行线间距和针长，N 为投针次数 x=unifrnd(0,pi,N,1); y=unifrnd(0,a,N,1); number=0; % 相交计数器 for i=1:N if y(i)<=b*sin(x(i) number=number+1; end end pai=2*b*N/(a*number); fprintf(针与平行线相交的频率为：%fn,number/N); fprintf(计算出来的 pi 为：%fn,pai);,源程序2.2,20150718,22,2 报童的卖报问题,问题：报童每天清晨从邮局购进报纸零售，晚上将卖不出去的退回，设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，当然应有abc。请你给报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。,20150718,23,分析：报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够卖，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的,因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入的期望值，以下简称平均收入。,20150718,24,记报童每天购进n份报纸时平均收入为G(n)，考虑到需求量为r的概率是p(r)，所以,假设报童已经通过自己的经验或其它渠道掌握 了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天 报纸的需求量为r份的概率是p(r),（r0,1,2, ）。,问题归结为在p(r)、a、b、c已知时，求n使G(n)最大。,20150718,25,通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r 视为连续变量，这时p(r)转化为概率密度函数f(r)，(1)式变为：,计算,20150718,26,使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足(3)，或,20150718,27,根据需求量的概率密度f(r)的图形很容易从(4)式确定购进量n。,n=?,在图中，用 分别表示曲线f(r)下的两块面积，则(3)式又可记作：,20150718,28,因为当购进n份报纸时：,是卖不完的概率；,是卖完的概率；,购进的份数n应该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱ab与退回一份赔的钱bc之比。,(3)(或5)式表明：,20150718,29,当报童与邮局签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。,例如：若每份报纸的购进价为0.15元，售出价为0.2元，退回价为0.12元，需求量服从均值500份、均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能平均收入最高，这个最高收入是多少？,20150718,30,解：,查表可得,n0.32516,即每天购进516份报纸。,按照(2)式，可得最高收入G23.484元。,因为,按(4)式，,20150718,31,问题：,人群中有病人（带菌者）和健康人（易感染者）. 任何两人之间的接触是随机的. 当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的. 通过实际数据或经验掌握了这些随机规律.,怎样估计平均每天有多少健康人被感染， 这种估计的准确性有多大？,3 传染病的随机感染, 一个完整的建模介绍,求解方法?,20150718,32,(参见美-堆盐问题87A求解),20150718,33,模型假设,注：符号说明,20150718,34,排列与组合，概率计算,随机变量与分布函数，离散型随机变量的分布律,二项分布,建模目的是寻找健康人中每天平均被感染的人数 与已知参数 的关系.,模型分析,20150718,35,模型建立,利用二项分布的性质并注意到人群总数为n,有,记假设2中任何二人接触的概率为,一健康人与一名指定病人接触的概率.,一健康人每天接触的人数服从二项分布.,（2）,再记一健康人与一名指定病人接触并感染的概率为,（3）,20150718,36,模型建立,(4),一健康人（每天）被感染的概率,20150718,37,模型建立与求解,为了得到简明的便于解释的结果，需对（4）式进行简化。,（7）,最后得到,（8）,（9）,方法、推导,20150718,38,模型求解数据处理,20150718,39,模型解释结果分析,20150718,40,模型评注,（模型推广、或模型优缺点）,20150718,41,模型评注,注: 参赛论文除摘要外，还要附上参考文献、程序、数据处理情况等.,20150718,42,4 为什么航空公司要超订机票,问题：你备好行装准备去旅行，访问New York城的一位挚友。在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。 航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实际乘坐那个航班。因而，大多数航空公司超员订票?也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。 航空公司安排延误乘客的方式各有不同。有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。,建模练习,20150718,43,根据当前情况，考虑超员订票问题： 航空公司安排较少的从A地到B地航班 机场及其外围加强安全性 乘客的恐惧 航空公司的收入迄今损失达数千万美元 建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最优订票策略，就是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，使得公司的收入达到最高。确保你的模型反映上述问题，而且考虑处理“延误”乘客的其他办法。此外，书写一份简短的备忘录给航空公司的CEO（首席执行官），概述你的发现和分析。,20150718,44,5.1 统计量,均值：mean(x) 中位数：median(x) 标准差：std(x) 方差：var(x),5 假设检验,20150718,45,偏度