（河北专）中考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练（四）三角形、四边形中的相关证明及计算试题

中档题型训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算纵观近8年河北省中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题三角形的有关计算及证明【例1】(2016重庆B卷中考)如图，在ABC中，ACB90，ACBC，E为AC边的中点，过点A作ADAB交BE的延长线于点D.CG平分ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且ACFCBG.求证：(1)AFCG；(2)CF2DE.【解析】(1)要证明AFCG，可以利用“ASA”证明ACFCBG来得到；(2)要证明CF2DE，由(1)得CFBG，则只要证明BG2DE，又利用AEDCEG可得DG2DE，再证明DGBG即可【学生解答】证明：(1)ACB90，CG平分ACB，ACBC.BCGCAB45.又ACFCBG，ACBC，ACFCBG(ASA)，CFBG，AFCG；(2)延长CG交AB于点H.ACBC，CG平分ACB，CHAB，H为AB中点又ADAB，CHAD，DEGC.又H为AB中点，G为BD中点，BGDG，E为AC中点，AEEC.又AEDCEG，AEDCEG(AAS)，DEEG，DG2DE，BGDG2DE.由(1)得CFBG，CF2DE.1(2016毕节中考)如图，已知ABC中，ABAC，把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到 ADE，连接BD，CE交于点F.(1)求证：AECADB；(2)若AB2，BAC45，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长解：(1)ABCADE且ABAC，AEAD，BACBAEDAEBAE，即CAEDAB，在AEC和ADB中，AECADB(SAS)；(2)四边形ADFC是菱形，且BAC45，DBABAC45.又由(1)得ABAD，DBABDA45.，ABD是直角边为2的等腰直角三角形，BD22AB2，BD2.又四边形ADFC是菱形，ADDFFCACAB2，BFBDDF22.2如图，在ABC中，ABC45，CDAB，BEAC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，ABECBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2GE2EA2.解：(1)BHAC.证明：BDCBECCDA90，ABC45，BCD45ABC，DBDC.又BHDCHE，DBHDCA.DBHDCA，BHAC；(2)连接GC.则GC2GE2EC2.F为BC中点，DBDC，DF垂直平分BC，BGGC.BG2GE2EC2.ABECBE，CEBAEB，BEBE，BCEBAE.ECEA，BG2GE2EA2.3(2016石家庄四十一中模拟)在RtABC中，A90，ACAB4, D，E分别是AB，AC的中点若等腰RtADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAD1E1，设旋转角为(0<180)，记直线BD1与CE1的交点为P.(1)如图1，当90时，线段BD1的长等于_2_，线段CE1的长等于_2_；(直接填写结果)(2)如图2，当135时，求证：BD1CE1，且BD1CE1；(3)设BC的中点为M，则线段PM的长为_2_；点P到AB所在直线的距离的最大值为_1_(直接填写结果)证明：(2)易证D1ABE1AC，BD1CE1，且D1BAE1CA，记直线BD1与AC交于点F，BFACFP.BFAD1BA90，CFPE1CA90，CPFFAB90，BD1CE1.4(2016河南中考)(1)发现如图1，点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb. 填空：当点A位于_时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_. (用含a，b的式子表示) (2)应用点A为线段BC外一动点，且BC3，AB1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE. 请找出图中与BE相等的线段，并说明理由； 直接写出线段BE长的最大值(3)拓展如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2 , 0)，点B的坐标为(5 , 0)，点P为线段AB外一动点，且PA2，PMPB，BPM90.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标解：(1)CB延长线上，ab；(2) DCBE.理由如下： ABD和ACE为等边三角形， ADAB，ACAE, BADCAE60， BADBACCAEBAC，即CADEAB，CADEAB. DCBE； BE长的最大值是4；(3)AM的最大值为32，点P的坐标为(2，)四边形的有关计算及证明【例2】(2016邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面积【思路分析】(1)由矩形及翻折的性质可证得EDMFBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出ABEDBEDBC30，利用锐角三角函数可求出AE，BE，进而求出AD，DE，即可求出菱形BFDE的面积【学生解答】(1)四边形ABCD是矩形，AC90，ABCD.由翻折得：BMAB，DNDC，AEMB，CDNF，BMDN，EMBDNF90，BNDM，EMDFNB90.ADBC，EDMFBN，EDMFBN(ASA)，EDBF，四边形BFDE是平行四边形；(2)四边形BFDE是菱形，EBDFBD.ABEEBD，ABC90，ABE9030.在RtABE中，AB2，AE，BE，ED，AD2.SABEABAE.S矩形ABCDABAD4，S菱形BFDE42.5(2016南京中考)如图，AB CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，AEF，CFE的平分线交于点G，BEF，DFE的平分线交于点H.(1) 求证：四边形EGFH是矩形；(2) 小明在完成(1)的证明后继续进行了探索过G作MN EF，分别交AB，CD于点M, N，过H作PQ EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路小明的证明思路 由ABCD，MNEF，PQEF，易证四边形 MNQP是平行四边形要证MNQP是菱形， 只要证NMNQ.由已知条件_FG平分CFE_， MN EF, 可证NGNF，故只要证GM FQ，即证 MGE QFH.易证_EGFH_，_GMEFQH_， 故只要证 MGE QFH，易证MGE GEF，QFHEFH，_GEFEFH_，即可得证证明：(1)EH平分BEF, FEHBEF, FH平分DFE, EFHDFE, ABCD, BEFDFE180， FEHEFH(BEFDFE)18090.又 FEHEFHEHF180， EHF180(FEHEFH)1809090. 同理可得：EGF90，GFH90，四边形GHFE是平行四边形6(2016邯郸二十五中模拟)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CEBF.连接DE，过点E作EGDE，使EGDE，连接FG，FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是_，位置关系是_；(2)如图2，若点E，F分别是CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请给出判断并予以证明；(3)如图3，若点E，F分别是BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断解：(1)FGCE(相等)；FGCE(平行)；(2)仍然成立；证明：设CF与DE相交于点M.四边形ABCD是正方形，BCCD，FBCECD90.BFCE，BCFCDE，FCED，DECBFC.BFCFCE90，DECFCE90，EMC90，即FCDE.GEDE，GEFC.又EGDE，EGFC，四边形GECF是平行四边形，FGCE，FGCE；(3)成立7(2016襄阳中考)如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EGCD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG6，EG2，求BE的长解：(1)由折叠的性质可得，AFDAFE，FDFE.EGCD，EGFAFD，EGFAFE，EGEFFD，EG綊FD，四边形EFDG是平行四边形又FDFE，EFDG是菱形；(2)连接ED交AF于点H，四边形EFDG是菱形，DEAF，FHGHGF，EHDHDE.FEHFAE90EFA，RtFEHRtFAE，.即EF2FHAF，EG2AFGF；(3)AG6，EG2，EG2AFGF，(2)2AFGF，(2)2(6GF)GF.GF>0，GF4，AF10.DFEG2，ADBC4，DE2EH8.CDEDFA90，DAFDFA90，CDEDAF，RtADFRtDCE，即，EC，BEBCEC.4