第六讲 数值计算讲课教案

第六讲 数值计算,MATLAB提供大量具有强大数值计算功能的函数。 本章着重介绍关于数值计算的函数。,目录,6.1 多项式运算 6.2 插 值 运 算 6.3 有限差分 6.4 功 能 函 数 6.5 微分方程组数值解,6.1 多项式运算,1多项式表示法 2多项式求值 3多项式乘法和除法 4多项式的微积分 5多项式的根和由根创建多项式 6多项式曲线拟合,多项式函数,1多项式表示法,MATLAB采用行向量表示多项式系数，多项式系数按降幂排列。 函数poly2str()将多项式系数向量转换为完整形式。格式: s,len=POLY2STR(P,x) P-多项式系数行向量 x-多项式变量符号 len-字符串s的长度,2多项式求值,函数polyval()计算多项式的值，其具体使用方法如下： y = polyval(p,x)，p为多项式系数行向量，x代入多项式的值。这里x为数值，向量或矩阵（对其每个元素求多项式的值）。 Y = polyvalm(p,X)，把矩阵X代入多项式p中进行计算。这里要求X为方阵。,3多项式乘法和除法,函数conv()和deconv()进行多项式乘法和除法，其具体使用方法如下： w = conv(u,v)，实现多项式乘法，返回结果多项式的系数行向量； q,r = deconv(u, v)，实现多项式除法。,4多项式的微积分,（1）多项式的微分 函数polyder()计算多项式的微分，其具体使用方法如下： k = polyder(p)，返回多项式p微分的系数向量； k = polyder(a,b)，返回多项式a*b微分的系数向量；,q,d = polyder(b,a)，返回多项式b/a微分的系数向量。,（2）多项式的积分,函数polyint()计算多项式的不定积分，其具体使用方法如下： s=polyint(p,k)，返回多项式p不定积分的系数向量。,5多项式的根和由根创建多项式,（1）多项式的根 函数roots()求多项式的根，其具体使用方法如下： r = roots(c)，返回多项式c的所有根r。,（2）由根创建多项式 函数poly()实现由根创建多项式，其具体使用方法如下： p = poly(r)，输入r是多项式所有根，返回值为多项式的系数向量； p = poly(A)，输入A是方阵，返回值为A的特征多项式的系数向量。,6多项式曲线拟合,函数polyfit()采用最小二乘法对给定数据进行多项式拟合，其具体使用方法如下： p = polyfit(x,y,n)，采用n次多项式p来拟合数据x和y。,运行结果如下图所示。,6.2 插 值 运 算,6.2.1 一维插值 6.2.2 二维插值,插值是根据已知输入/输出数据集和当前输入估计输出值。MATLAB提供大量的插值函数，如下表所示。,插值函数,6.2.1 一维插值,一维插值就是对函数y=f(x)进行插值，一维插值的原理如下图所示。,函数interp1()实现一维插值，其具体使用方法如下： yi=interp1(x,y,xi)，x，y是已知数据集且具有相同长度的向量； yi = interp1(y,xi)，默认x为1:n，其中n为向量y的长度； yi=interp1(x,y,xi,method)。method用于指定插值的方法。,运行结果如下图所示。,6.2.2 二维插值,二维插值是对两变量的函数z=f(x,y)进行插值，二维插值的原理如下图所示：,函数interp2()实现二维插值,其具体使用方法如下： zi = interp2(x,y,z,xi,yi)，x,y,z为原始数据，返回值zi是插值结果； zi = interp2(z,xi,yi)，若z=nm，则x=1:n，y=1:m； zi = interp2(x,y,z,xi,yi,method)，method用于指定插值的方法 。,运行结果如下图所示。,6.3 有限差分,函数diff()计算差分，其具体使用方法如下： Y = diff(X) ，X可以是向量或矩阵； Y = diff(X,n) ，返回n阶差分 ； Y = diff(X,n,dim) ，返回在dim维上的n阶差分 。,运行结果如下图所示。,6.4 功 能 函 数,1函数的表示 2函数画图 3函数最小值和零点 4数值积分,函数可以通过以下方式来表示： M文件； 匿名函数； 函数inline()。,1函数的表示,2函数画图,MATLAB提供函数画图的函数如下表所示。,函数画图的函数,以函数fplot()为例介绍画图函数的用法，其具体使用方法如下： fplot(function,limits)，function为待画图的函数，limits是横坐标数值范围或横纵坐标数值范围；,fplot(function,limits,LineSpec)，LineSpec指定画图的线条属性； fplot(function,limits,tol)，tol指定画图相对精度； fplot(function,limits,tol,LineSpec)，指定画图的线条属性和画图相对精度。,运行结果如下图所示。,3函数最小值和零点,求函数的最小值和零点的函数，如下表所示。,求函数最小值和零点,（1）求一元函数最小值,函数fminbnd()求一元函数在给定区间内的最小值，其具体使用方法如下： x = fminbnd(fun, ,x1,x2)，在区间x1 x2内寻找函数最小值；,x = fminbnd(fun,x1,x2,options)，使用options选项来指定的优化器的参数； x,fval = fminbnd(.)，附加返回函数最小值。,（2）求多元函数的最小值,函数fminsearch()求多元函数的最小值。其具体使用方法如下： x = fminsearch(fun,x0)，在初始x0附近寻找局部最小值； x = fminsearch(fun,x0,options)，使用options选项来指定优化器的参数；,x,fval = fminsearch(.)，附加返回函数最小值。,（3）求一元函数的零点,函数fzero()求一元函数的零点，其具体使用方法如下： x = fzero(fun,x0)，在x0点附近寻找函数的零点； x = fzero(fun,x0,x1)，在x0,x1区间内寻找函数的零点；,x = fzero(fun,x0,options)，用options指定寻找零点的优化器参数； x,fval = fzero(.)，附加自变量为x时的函数值。,4数值积分,MATLAB提供一些的数值积分函数，如 下表所示。,数值积分函数,（1）一元函数的数值积分,函数quad()和函数quadl()来计算一元函数的积分。函数quad()的具体使用方法如下： q = quad(fun,a,b)，计算函数fun在a b区间内的定积分；,q = quad(fun,a,b,tol)，以绝对误差容限tol计算函数fun在a b区间内的定积分； q = quad(fun,a,b,tol,trace)，当trace为非零值时，显示迭代过程的中间值。,（2）矢量数值积分,矢量数值积分等价于多个一元定积分。,（3）二重积分,函数dblquad()计算二重积分。其具体使用方法如下： q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，计算二元函数的二重积分； q= dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)，用tol指定绝对计算精度；,q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)，用method指定计算一维积分时采用的函数。,6.5 微分方程组数值解,6.5.1 常微分方程组的初值问题 6.5.2 延迟微分方程的问题 6.5.3 常微分方程组的边界问题,在MATLAB中，可以计算微分方程数值解，如： 常微分方程组的初值问题； 延迟微分方程的问题； 常微分方程组的边界问题。,6.5.1 常微分方程组的初值问题,1显式常微分方程组 2设置解法器参数 3线性隐式常微分方程组 4完全隐式常微分方程组,在MATLAB中可以计算以下初值问题的数值解。 显式常微分方程组； 线性隐式常微分方程组； 完全隐式常微分方程组。,1显式常微分方程组,在MATLAB中，用函数实现不同的解法，如下表所示。,常微分方程组解法对比,2设置解法器参数,函数odeset()设定解法器参数，其具体使用方法如下： options= odeset(name1,value1,name2, value2,)，用参数名和相应参数值设定解法器的参数；,options= odeset(oldopts,name1, value1,)，修改原来的解法器options结构体oldopts； options = odeset(oldopts,newopts)，合并两个解法器options结构体oldopts和newopts； odeset，显示所有的参数值和它们的默认值。,常微分方程组解法器参数,3线性隐式常微分方程组,线性隐式常微分方程组可以利用解法器参数options来求解。,运行结果如下图所示。,4完全隐式常微分方程组,函数ode15i()求解完全隐式常微分方程组，其具体使用方法如下： t,Y = ode15i(odefun,tspan,y0,yp0) ； t,Y= ode15i(odefun,tspan,y0,yp0,options) 。,函数decic()得到自洽初始值，其具体使用方法如下： y0mod,yp0mod = decic(odefun,t0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0)； y0mod,yp0mod = decic(odefun,t0,y0,fixed_y0,yp0,fixed_yp0,options) 。,运行结果如下图所示。,6.5.2 延迟微分方程的问题,函数dde23()求解延迟微分方程组，其具体使用方法如下： sol= dde23(ddefun,lags,history,tspan)； sol= dde23(ddefun,lags,history,tspan,option)，option结构体用于设置解法器的参数。,函数dde23()的返回值是一个结构体，它包含7个属性，其中重要的5个属性如下： sol.x，dde23选择计算的时间点； sol.y，在时间点x上的解y(x)； sol.yp，在时间点x上解的一阶导数y(x)；,sol.history，方程初始值； sol.solver，解法器的名字dde23； 若需得到tint时刻的解，可以使用函数deval，即yint = deval(sol,tint)。,6.5.3 常微分方程组的边界问题,函数bvp4c()的具体使用方法如下： sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit)，odefun代表常微分方程组的函数，bcfun是描述边界条件的函数，solinit是对方程解的猜测解； sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options)，使用options结构体来设定解法器的参数。,运行结果如下图所示。,End,