六年级下册数学试题-思维能力训练：第5讲.数论中的规律（解析版）全国通用
5+数论中的规律预 习本讲内容总结并归纳数论中的相关规律会用数论中相关规律解决相关数论问题前铺知识位值原理韩信点兵后续知识数论模块综合选讲（一）数论模块综合选讲（二）1六位自然数1082 能被 12 整除，末两位数最大是 【分析】因为108299 12 = 9024L11，所以108299 - 11 = 108288 能被12 整除，故末两位最大为 882已知数 21948342492834L429438302 能被 18 整除，那么n 的最小值是多少？n个2983【分析】18 = 9 2 ，由题知 21948342492834L429438302 能被 9 整除，那么其各位数字之和22n + 2 是n个29839 的倍数，即 22n + 2 = 18n + 2(2n + 1) 是 9 的倍数，当 n = 4 时满足条件，所以n 的最小值是 43若四位数9a8a 能被 15 整除，则 a 代表的数字是多少？【分析】因为 15 是 3 和 5 的倍数，所以9a8a 既能被 3 整除，也能被 5 整除能被 5 整除的数的个位数字是 0 或 5，能被 3 整除的数的各位数字的和是 3 的倍数当 a = 0 时，9 + a + 8 + a = 17 ，不是 3 的倍数；当 a = 5 时， 9 + a + 8 + a = 27 ，是 3 的倍数所以， a 代表的数字是 5六年级 第 5 讲 数论中的规律 （A 版）13 与 9 的家族知识剖析看数字和3，9 家族判断整除：一个数能否被 3，9 整除，只需看这个数的各个数位上的数字和是否是 3，9 的倍数即可判断余数：一个数被 3 除的余数，等于这个数的各个数位上的数字和被 3 除的余数同样的，一个数被 9 除的余数，等于这个数的各个数位上的数字和被 9 除的余数（1） 若 9 位数 2014 A2015 能够被 3 整除，则 A 表示的数为 （2） 若 9 位数 2014 A2015 能够被 9 整除，则 A 表示的数为 【分析】（1）根据题目知：15+A 是 3 的倍数，所以 A 为 0 或 3 或 6 或 9（2）根据题目知：15+A 是 9 的倍数，所以 A 为 3（1） 六位数2013ab 能被 99 整除，它的最后两位数是 （2） 已知九位数 2007122 既是 9 的倍数，又是 11 的倍数，这个九位数是 【分析】已知九位数 234567abc 能被 999 整除， 它的最后三位数是 99 的整除特征是从右到左，两位一段，数段和是 99 的倍数（1） ab + 13 + 20 = 99k ， k 只能取 1，所以 ab = 66 ；（2） 设为 2007a12b2 ，根据题意，能被 9 整除的，也是 11 的倍数，就是 99的倍数，有b2 + 12 + 7a + 2 = 99k ， k 只能取 1，所以ba = 13 ；即这个 9 位数是 200731212（3）从个位开始，三位一段求和，和为 999 的倍数，即：234+567+ abc =999k， abc =198六位数2004 能被 99 整除，这个六位数是 整除 ，则 (4b + a2) 能被 【分析】设这 个六 位数 为，能被 9999整除 ，所 以a2004ba2004b4b + a2 = 99, a = 5,b = 7 ，这个六位数是520047 附：99 的整除特征：一个数从末位起每两位一截，将截得的数相加，所得的和能被 99 整除，则这个数能被 99 整除六年级 第 5 讲 数论中的规律 （A 版）2寻找末尾连续 0 的个数（1） 975 935 972 ，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数？（2） 1 2 3 4 L 30 这 30 个自然数连乘的末尾共 个连续的数码 0【分析】（1）积的最后 4 个数字都是 0，说明乘数里至少有 4 个因数 2 和 4 个因数 5 975 = 5 5 39 ，935 = 5 187 ， 972 = 2 2 243 ，共有 3 个 5，2 个 2，所以方框内至少是2 2 5 = 20 （2）连续自然数的乘积，看因数 5 的个数就可以，因为 2 的个数一定多于 5 的个数，5 的倍数有 6个，25 的倍数 1 个 所以因数 5 有 7 个有 7 个连续的 01 2 3 4 L 66 67 这 67 个自然数连乘的末尾共 个连续的数码 0 67 67 【分析】+=13 + 2=15 个 5 25 学生版只有（1）（1） 从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有 个连续的 0（2） 把若干个自然数 1、2、3、连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十八位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？最后出现的自然数最大应该是多少？【分析】（1）首先，50、60、70、80、90、100 中共有 7 个 0其次，55、65、85、95 和任意偶数相乘都可以产生一个 0，而 75 乘以偶数可以产生 2 个 0，50 中的因数 5 乘以偶数又可以产生 1 个 0，所以一共有7 + 4 + 2 + 1 = 14 个 0（2）乘积末尾的零的个数是由乘数中因数 2 和 5 的个数决定的，有一对 2 和 5 乘积末尾就有一个零由于相邻两个自然数中必定有一个是 2 的倍数，而相邻 5 个数中才有一个 5 的倍数，所以我们只要观察因数 5 的个数就可以了 5 = 5 1 ， 10 = 5 2 ， 15 = 5 3 ， 20 = 5 4 ， 25 = 5 5 ，30 = 5 6 ，发现只有 25、50、75、100、这样的数中才会出现多个因数 5，乘到 75 时共出现15 + 3 = 18 个因数 5，所以至少应当写到 75最大是 79知识剖析多个数相乘末尾连续个“0”的规律10=25，100=2255，把每个因数 2 和 5 分为一组，每组对应一个 0有几组这样的配对，乘积的末尾就有几个连续的 0六年级 第 5 讲 数论中的规律 （A 版）3有 15 位同学，每位同学都有编号，他们是 1 号到 15 号1 号同学写了一个自然数，2 号说：“这个数能被 2 整除”3 号说：“这个数能被 3 整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除1 号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对问：说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？【分析】1我们发现，拿编号15 来说，能被15 整除就一定能被3 和5 整除，能被3 和5 同时整除就一定能被15 整除，我们简单的记作15 3和5 ，所以说，如果这个数不能被15 整除就不能同时被3 和5 整除所以，这两位同学的编号一定不是15,3,5 同样的道理，类似的还有14 2和7 ，12 3和4 ，10 2和5 ， 6 2和3 所以两位同学的编号一定不是2,3,4,5,6,7,10,12,14,15 剩下有可能不对的编号为8,9,11,13 ，由于这两个编号是连续的，所以是8 和9 综合逻辑推理学生版只有（1）（2）（3）大家都看过“猫和老鼠”这部动画片吧，一天，汤姆（ Tom )特别高兴，因为他终于抓到杰瑞（ Jerry ）了， 并且还抓到了杰瑞的100 个朋友，汤姆准备把他们分别关在从左到右编号为1, 2,3,L,101的笼子里，然后排成一排，汤姆想逗逗杰瑞，于是对杰瑞说：“我从1号开始吃，每次都是每隔一个吃掉一个，吃到最右边后，再返回左边继续吃，依次下去，你自己选个笼子，如果最后剩下的一个是你，你就可以走了”同学们你们能帮杰瑞选个笼子逃生吗？你发现了什么规律？上次杰瑞终于侥幸逃跑了，可是有一天杰瑞不幸又被汤姆抓到了，而且还抓到杰瑞的31 个朋友，汤姆真厉害！汤姆准备把他们分别关在编号为1, 2,3,L,32 的笼子里，然后围成一圈，并对杰瑞说：“上次你侥幸逃跑了，这次我把你们围成一圈，我还是从1号开始吃，每隔一个吃掉一个，依次下去，你自己选个笼子，如果最后剩下的一个还是你，你还可以走”同学们这次你们还能帮杰瑞逃生吗？你发现了什么规律？杰瑞已侥幸逃跑两次了，可是天有不测风云，杰瑞再一次不幸被汤姆抓到了，而且还抓到杰瑞的300 个朋友，汤姆太强悍了！汤姆不信杰瑞这次还能逃跑，于是还是定了第二次的规则，同学们这次杰瑞还能侥幸逃 跑吗？如果能逃跑的话，杰瑞应选几号笼子才能逃生呢？如果汤姆抓到杰瑞且还抓到杰瑞的80 个朋友，从1号、2 号开始吃，但是每隔一个吃掉两个，依次下去你还能帮杰瑞逃生吗？你发现了什么规律？如果把（4）中的 80 个朋友改为 300 个朋友，其他条件都不变，结果如何？【分析】第一次吃到右边剩下老鼠的编号为2, 4,6,L,100 ，第二次吃到最右边剩下的是4 的倍数，依次下去，因此杰瑞应选101 以内2n 最大的数即64 ，所以杰瑞应该选编号为64 的笼子才可以逃生先对8 只老鼠分别编号1, 2,3,L,8 ，1号老鼠被猫吃掉，2 号鼠生存下来；3 号老鼠被猫吃掉，4 号老鼠生存下来就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？通过画图尝试发现，最后剩下的是8 号老鼠，如果是16 只老鼠或32 只老鼠，还是按上述规则编号，最后剩下的是16 号老鼠、32 号老鼠因此规律是如果有2n 只老鼠，每隔一个吃掉一个，最后剩下的那只老鼠的编号是被吃掉的第一只老鼠编号的前一个编号1号老鼠被猫吃掉，2 号鼠生存下来；3 号老鼠被猫吃掉，4 号老鼠生存下来就这样， 这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另一只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？为了解决这道题，我们首先得找到这道题和上题的不同之处：老鼠的只数不是2n 的形式，因为28 = 256 ， 所以应先吃掉301 - 256 = 45 只，吃掉第 45 只老鼠的编号为45 2 -1 = 89 ，第 46 只被吃掉老鼠的编号是91 ，因此杰瑞应该选编号为90 的笼子先假设有9 只老鼠，分别编号1, 2,3,L,9 ，1 号、2 号老鼠被猫吃掉； 3 号老鼠生存下来，4 号、5 号老鼠被猫吃掉就这样，这只猫每隔一只老鼠，就吃掉另两只老鼠，依次下去，最后唯一幸存的那只老鼠是几号呢？通过画图尝试发现，最后剩下的是9 号老鼠，如果是27 只老鼠、81 只六年级 第 5 讲 数论中的规律 （A 版）4老鼠，还是按上述规则编号，最后剩下的分别是27 号、81 号老鼠因此规律是如果有3n 只老鼠，每隔一个吃掉两个，最后剩下的那只老鼠的编号是被吃掉的第一只老鼠编号的前一个编号因为35 = 243 ，所以应先吃掉301 - 243 = 58 只，吃掉第58 只老鼠的编号为58 2 3 -1 = 86 ，第59只被吃掉老鼠的编号是88 ，因此杰瑞
