六年级下册数学试题-思维能力训练：第6讲.旋转与轨迹（解析版）全国通用

6+旋转与轨迹预习本讲内容图形旋转线动成面面动成体前铺知识平移、旋转与对称圆柱与圆锥后续知识几何模块综合选讲（一） 几何模块综合选讲（三）1、如图，AOB 旋转到AOB的位置若AOA=90，则旋转中心是点 旋转角是 点A 的对应点是 线段AB 的对应线段是 B 的对应角是 BOB= 【分析】AOA、 BOB、A、AB、B、902、如图，若正方形 DCEF 旋转后能与正方形 ABCD 重合，则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有(C)个A、1B2C3D43、将下左图按顺时针方向旋转90 后得到的是(A)六年级第 6 讲旋转与轨迹 （A 版）1点动成线知识剖析旋转：把一个图形绕着某一点O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P ，那么这两个点叫做这个旋转的的对应点(如下图)PQOPQ注意：研究旋转问题应把握两个元素：旋转中心与旋转角每一组对应点所构成的旋转角相等旋转的性质：旋转后的图形与原图形是全等的；(进而得到相等的线段、相等的角)旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等；(进而得到等腰三角形)对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角；(若特殊角则得到等边三角形、等腰直角三角形)旋转作图的基本步骤：由旋转的性质可知，旋转作图必须具备两个重要条件：旋转中心；旋转方向及旋转角度具体步骤分以下几步：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心转：即把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(作旋转角)截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点连：即连接所得到的各点（1）线段 AB 长 10 厘米，绕 A 点顺时针旋转 120 度，B 点的轨迹长度是多少？（2）如图，将边长为 2 的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶点C 顺时针转动到达，则 A 点走过的路程的长 BBAACC）B 点的轨迹是一个的扇形弧长，长度是 1 2p 10 = 20 p 厘米1【分析】（1333六年级第 6 讲旋转与轨迹 （A 版）2i（ 2 ）图中圆弧即为 A 点走过的路程，为圆心角为120o 、半径为2的扇形的圆弧 长度为120 2 2 = 4 ，即 A 点走过的路程的长是 4 36033如图，将边长为 1 的正三角形放在一条直线上，让三角形绕顶点C 顺时针转动到达，再继续这样转动到达，则 A 点走过的路程的长 BBACAC【分析】图中圆弧即为 A 点走过的路程，分为两段，均为圆心角为120o 、半径为 1 的扇形的圆弧两个扇形圆弧长之和= 120 2 1 2 = 4 ，即 A 点走过的路程的长是 4 36033如图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm 和 3cm 的长方形它的对角线长恰好是5cm 让这个长方形绕顶点 B 顺时针旋转90后到达长方形的位置（取3.14 ）（1）点 A 走过的路程的长是 厘米（2）点C 走过的路程的长是 厘米（3）点 D 走过的路程的长是 厘米DABADDDDBCABAAB【分析】A、C、D 点的轨迹都是一个 1 的圆形：4A 的轨迹： 1 2p 4 = 2p = 6.28 平方厘米；4C 的轨迹： 1 2p 3 = 3 p 4 = .71 平方厘米；42D 的轨迹： 1 2p 5 = 5 p = 7.85 平方厘米；42六年级第 6 讲旋转与轨迹 （A 版）3CCCC线动成面（1）线段 AB 长 10 厘米，绕 A 点顺时针旋转 90 度，所形成的图形面积是多少？（2）如图， ABCD 是一个长为4 ，宽为3 ，对角线长为5 的正方形，它绕C 点按顺时针方向旋转90 ，分别求出 BC、DC 两边扫过图形的面积DBAAACDDCBDC【分析】（1）线段 AB 长 10 厘米，绕 A 点顺时针旋转 90 度，所形成的图形是 1 圆，面积是 1 p 102 = 25p44平方厘米（2）BC、DC 两边扫过图形都是 1 圆，BC：面积是 1 p 32 = 9 p 平方厘米；DC：面积4441是 p 42 = 4p 平方厘米；4（1）如图，一只狗被拴在一面墙上的 O 点，拴绳长 6 米，OB 之间的距离是 4 米，那么狗能够到达地方的面积约为多少平方米？（取3.14 ）ABOABOLL（2）如图，一只羊被拴在一个长为 4 米，宽为 3 米的长方形的羊圈内，在 B 处有一个缺口，羊可以自由出入，拴绳长 9 米，那么羊能够到达的地方的面积约为多少平方米？（取3.14 ，结果保留两位小数）ABABDDCC【分析】（1）狗开始时的活动范围是以 O 点为圆心，半径为 6 米的半圆形区域，当绳子绕到 B 点时，圆心由 O 点变为 B 点，这时半径变为6 - 4 = 2 米，此时活动区域也是一个半圆形区域，所以总的活动范六年级第 6 讲旋转与轨迹 （A 版）4BB11围是两个半圆： p 62 + p 22 = 18p + 2p = 20p = 62.8 平方米22（2）首先在羊圈内，羊能到达羊圈中3 4 = 12 平方米的所有空间，在羊圈外，根据勾股定理求出， 羊圈的对角线长为 5 米，所以拴绳可以从 B 处穿出的长度最多有 4 米，所以羊圈以外的部分可以看作半径为 4 米的四分之三圆和一个半径为 1 米的四分之一圆，如右图所示131 S = 4 3 + p 1 + p 4= 12 + 12 +p = 50.465 50.47224 平方米44一只狗被拴在底座为边长 4 米的等边三角形建筑物的墙角上(如图)，绳长是 3 米 ,则狗所能到的地方的总面积是 平方米（取3.14 ）【分析】如图所示，狗活动的范围是一个半径 3 米， 圆心角 360- 60 = 300 的扇形，面积是 300 p 32 = 7.5p = 23.55 平方米360面动成体（1）一个长方形的长是 5 厘米，宽是 2 厘米，以其中的一条边为轴旋转一周，可以得到一个圆柱，圆柱体积最大是多少立方厘米？（取3.14 ）5m5m2m（2）已知直角三角形的三条边长分别为 3 cm ，4 cm ，5 cm ，分别以两条直角边为轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？（取3.14 ）【分析】（1）以 5 为半径，高为 2 的圆柱体体积为p 52 2 = 50p ，以 2 为半径，高为 5 的圆柱体体积为p 22 5 = 20p ，所以圆柱体积最大是50p 立方厘米，也就是 157 立方厘米（2）以343厘米的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是厘米，高是厘米的圆锥体，体积为1 3.14 42 3 = 50.24 立方厘米；以 4 厘米的边为轴旋转一周所得到的是底面半径是 3 厘米，高3是 4 厘米的圆锥体，体积为 1 3.14 32 4 = 37.68 立方厘米综上体积最小为37.68 立方厘米3六年级第 6 讲旋转与轨迹 （A 版）52m笔记整理1、轨迹一个点在空间移动，它所通过的全部路径叫做这个点的轨迹.2、线动成面一条线段绕固定点旋转一定的角度，只要找到线段距离固定点的最近点和最远点，然后绕固定点旋转所形成的图形的面积叫做这条线段扫过的面积.3、面动成体长方形绕长或宽旋转所形成的图形是圆柱，直角三角形绕直角边旋转所形成的图形是圆锥1、 如图，一条直线上放着一个长和宽分别为 4cm 和 3cm 的长方形它的对角线长恰好是 5cm 让这个长方形绕顶点 B 顺时针旋转90后到达长方形的位置，这样连续做三次，点 A 到达点 E 的位置求点A 走过的路程的长（取3.14 ）BIIIIIIABDE CCA【分析】如下图中圆弧即为 A 点走过的路程，分为两段，均为圆心角为120o 、半径为 1 的扇形的圆弧两个扇形圆弧长之和= 2 1 120 2 = 4 ，即 A 点走过的路程的长是 4 360332、 如图，线段 AB 长 10 厘米，向右平移 5 厘米，所形成的图形面积是多少？【分析】线段平移扫过的图形为长方形，如下图所示，长方形的面积为10 5 = 50 平方厘米六年级第 6 讲旋转与轨迹 （A 版）63、 如右图，以 OA 为斜边的直角三角形的面积是 24 平方厘米，斜边长 10 厘米，将它以 O 点为中心旋转90 ，问：三角形扫过的面积是多少（包含三角形）？(取 3)AOA【分析】从图中可以看出，直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积，等于一个三角形的面积与四分之一圆的面积之和圆的半径就是直角三角形的斜边OA 因此可以求得，三角形扫过的面积为：24 + 1 10 10 = 24 + 25 = 99 (平方厘米)44、 如图，一只狗用皮带系在 1010 的正方形狗窝的一角上，皮带长为 14，在狗窝外面狗能活动的范围的面积是多少？画出图形并计算（狗的大小忽略不计，=3，长度单位：分米）【分析】面积是 3 大圆加上 2 个 1 小圆，面积是 3 142 + 2 1 42 = 155 = 465 平方分米44445、 一个直角三角形的三条边的长度是 5、12 和 13，如果分别以各直角边为轴旋转一周，得到三个立体图形（如下图）比较这两个立体图形的体积，体积最大的是 ，最大体积为 1313125512【分析】图 1 的体积为 1 3.14 52 12 ，图 2 的体积是 1 3.14 122 5 ，因此是图 2 的体积最大，最大为31 3.14