信号与系统教案第3章(吴大正)

第三章离散系统的时域分析 3 1LTI离散系统的响应一 差分与差分方程二 差分方程的经典解三 零输入响应和零状态响应3 2单位序列响应和阶跃响应一 单位序列响应二 阶跃响应3 3卷积和一 序列分解与卷积和二 卷积的图解三 不进位乘法四 卷积和的性质 点击目录 进入相关章节 第三章离散系统的时域分析 3 1LTI离散系统的响应 一 差分与差分方程 设有序列f k 则 f k 2 f k 1 f k 1 f k 2 等称为f k 的移位序列 仿照连续信号的微分运算 定义离散信号的差分运算 1 差分运算 离散信号的变化率有两种表示形式 3 1LTI离散系统的响应 1 一阶前向差分定义 f k f k 1 f k 2 一阶后向差分定义 f k f k f k 1 式中 和 称为差分算子 无原则区别 本书主要用后向差分 简称为差分 3 差分的线性性质 af1 k bf2 k a f1 k b f2 k 4 二阶差分定义 2f k f k f k f k 1 f k f k 1 f k f k 1 f k 1 f k 2 f k 2f k 1 f k 2 5 m阶差分 mf k f k b1f k 1 bmf k m 因此 可定义 3 1LTI离散系统的响应 2 差分方程 包含未知序列y k 及其各阶差分的方程式称为差分方程 将差分展开为移位序列 得一般形式y k an 1y k 1 a0y k n bmf k b0f k m 差分方程本质上是递推的代数方程 若已知初始条件和激励 利用迭代法可求得其数值解 例 若描述某系统的差分方程为y k 3y k 1 2y k 2 f k 已知初始条件y 0 0 y 1 2 激励f k 2k k 求y k 解 y k 3y k 1 2y k 2 f k y 2 3y 1 2y 0 f 2 2y 3 3y 2 2y 1 f 3 10 一般不易得到解析形式的 闭合 解 3 1LTI离散系统的响应 二 差分方程的经典解 y k an 1y k 1 a0y k n bmf k b0f k m 与微分方程经典解类似 y k yh k yp k 1 齐次解yh k 齐次方程y k an 1y k 1 a0y k n 0其特征方程为1 an 1 1 a0 n 0 即 n an 1 n 1 a0 0其根 i i 1 2 n 称为差分方程的特征根 齐次解的形式取决于特征根 当特征根 为单根时 齐次解yn k 形式为 C k当特征根 为r重根时 齐次解yn k 形式为 Cr 1kr 1 Cr 2kr 2 C1k C0 k 3 1LTI离散系统的响应 2 特解yp k 特解的形式与激励的形式雷同 r 1 1 激励f k km m 0 所有特征根均不等于1时 yp k Pmkm P1k P0 有r重等于1的特征根时 yp k kr Pmkm P1k P0 2 激励f k ak 当a不等于特征根时 yp k Pak 当a是r重特征根时 yp k Prkr Pr 1kr 1 P1k P0 ak 3 激励f k cos k 或sin k 且所有特征根均不等于e j yp k Pcos k Qsin k 例 若描述某系统的差分方程为y k 4y k 1 4y k 2 f k 已知初始条件y 0 0 y 1 1 激励f k 2k k 0 求方程的全解 解 特征方程为 2 4 4 0可解得特征根 1 2 2 其齐次解yh k C1k C2 2 k特解为yp k P 2 k k 0代入差分方程得P 2 k 4P 2 k 1 4P 2 k 2 f k 2k 解得P 1 4所以得特解 yp k 2k 2 k 0故全解为y k yh yp C1k C2 2 k 2k 2 k 0代入初始条件解得C1 1 C2 1 4 3 1LTI离散系统的响应 3 1LTI离散系统的响应 三 零输入响应和零状态响应 y k yx k yf k 也可以分别用经典法求解 y j yx j yf j j 0 1 2 n 1设激励f k 在k 0时接入系统 通常以y 1 y 2 y n 描述系统的初始状态 yf 1 yf 2 yf n 0所以y 1 yx 1 y 2 yx 2 y n yx n 然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yx j 和yf j j 0 1 2 n 1 3 1LTI离散系统的响应 例 若描述某离散系统的差分方程为y k 3y k 1 2y k 2 f k 已知激励f k 2k k 0 初始状态y 1 0 y 2 1 2 求系统的零输入响应 零状态响应和全响应 解 1 yx k 满足方程yx k 3yx k 1 2yx k 2 0其初始状态yx 1 y 1 0 yx 2 y 2 1 2首先递推求出初始值yx 0 yx 1 yx k 3yx k 1 2yx k 2 yx 0 3yx 1 2yx 2 1 yx 1 3yx 0 2yx 1 3方程的特征根为 1 1 2 2 其解为yx k Cx1 1 k Cx2 2 k将初始值代入并解得Cx1 1 Cx2 2所以yx k 1 k 2 2 k k 0 3 1LTI离散系统的响应 yf k 3yf k 1 2yf k 2 f k 初始状态yf 1 yf 2 0递推求初始值yf 0 yf 1 yf k 3yf k 1 2yf k 2 2k k 0yf 0 3yf 1 2yf 2 1 1yf 1 3yf 0 2yf 1 2 1分别求出齐次解和特解 得yf k Cf1 1 k Cf2 2 k yp k Cf1 1 k Cf2 2 k 1 3 2k代入初始值求得Cf1 1 3 Cf2 1所以yf k 1 k 3 2 k 1 3 2k k 0 2 零状态响应yf k 满足 3 2单位序列响应和阶跃响应 3 2单位序列响应和阶跃响应 一 单位序列响应 由单位序列 k 所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应或单位取样响应 或简称单位响应 记为h k h k T 0 k 例1已知某系统的差分方程为y k y k 1 2y k 2 f k 求单位序列响应h k 解根据h k 的定义有h k h k 1 2h k 2 k 1 h 1 h 2 0 1 递推求初始值h 0 和h 1 3 2单位序列响应和阶跃响应 h k h k 1 2h k 2 k h 0 h 1 2h 2 0 1h 1 h 0 2h 1 1 1 2 求h k 对于k 0 h k 满足齐次方程h k h k 1 2h k 2 0其特征方程为 1 2 0所以h k C1 1 k C2 2 k k 0h 0 C1 C2 1 h 1 C1 2C2 1解得C1 1 3 C2 2 3h k 1 3 1 k 2 3 2 k k 0或写为h k 1 3 1 k 2 3 2 k k 方程 1 移项写为 3 2单位序列响应和阶跃响应 例2 若方程为 y k y k 1 2y k 2 f k f k 2 求单位序列响应h k 解h k 满足h k h k 1 2h k 2 k k 2 令只有 k 作用时 系统的单位序列响应h1 k 它满足h1 k h1 k 1 2h1 k 2 k 根据线性时不变性 h k h1 k h1 k 2 1 3 1 k 2 3 2 k k 1 3 1 k 2 2 3 2 k 2 k 2 3 2单位序列响应和阶跃响应 二 阶跃响应 g k T k 0 由于 k k k 1 k 所以 h k g k k2 k1 两个常用的求和公式 3 3卷积和 3 3卷积和 一 卷积和 1 序列的时域分解 任意离散序列f k 可表示为f k f 1 k 1 f 0 k f 1 k 1 f 2 k 2 f i k i 3 3卷积和 2 任意序列作用下的零状态响应 根据h k 的定义 k h k 由时不变性 k i h k i f i k i 由齐次性 f i h k i 由叠加性 f k yf k 卷积和 3 3卷积和 3 卷积和的定义 已知定义在区间 上的两个函数f1 k 和f2 k 则定义和 为f1 k 与f2 k 的卷积和 简称卷积 记为f k f1 k f2 k 注意 求和是在虚设的变量i下进行的 i为求和变量 k为参变量 结果仍为k的函数 3 3卷积和 例 f k ak k h k bk k 求yf k 解 yf k f k h k 当ik时 k i 0 k k k 1 k 3 3卷积和 二 卷积的图解法 卷积过程可分解为四步 1 换元 k换为i 得f1 i f2 i 2 反转平移 由f2 i 反转 f2 i 右移k f2 k i 3 乘积 f1 i f2 k i 4 求和 i从 到 对乘积项求和 注意 k为参变量 下面举例说明 3 3卷积和 例 f1 k f2 k 如图所示 已知f k f1 k f2 k 求f 2 解 1 换元 2 f2 i 反转得f2 i 3 f2 i 右移2得f2 2 i 4 f1 i 乘f2 2 i 5 求和 得f 2 4 5 f2 i f2 2 i 3 3卷积和 三 不进位乘法求卷积 f k 所有两序列序号之和为k的那些样本乘积之和 如k 2时f 2 f1 1 f2 3 f1 0 f2 2 f1 1 f2 1 f1 2 f2 0 例f1 k 0 f1 1 f1 2 f1 3 0 f2 k 0 f2 0 f2 1 0 f1 1 f2 k 1 f1 0 f2 k f1 1 f2 k 1 f1 2 f2 k 2 f1 i f2 k i 3 3卷积和 f1 1 f1 2 f1 3 f2 0 f2 1 f1 1 f2 0 f1 2 f2 0 f1 3 f2 0 f1 1 f2 1 f1 2 f2 1 f1 3 f2 1 f1 3 f2 1 f1 2 f2 1 f1 3 f2 0 f1 1 f2 1 f1 2 f2 0 f1 1 f2 0 f k 0 f1 1 f2 0 f1 1 f2 1 f1 2 f2 0 f1 2 f2 1 f1 3 f2 0 f1 3 f2 1 0 排成乘法 3 3卷积和 例f1 k 0 2 1 5 0 k 1f2 k 0 3 4 0 6 0 k 0 3 4 0 6 2 1 5 解 15 20 0 30 3 4 0 6 6 8 0 12 6 11 19 32 6 30 求f k f1 k f2 k f k 0 6 11 19 32 6 30 k 1 教材上还提出一种列表法 本质是一样的 3 3卷积和 四 卷积和的性质 1 满足乘法的三律 1 交换律 2 分配律 3 结合律 2 f k k f k f k k k0 f k k0 3 f k k 4 f1 k k1 f2 k k2 f1 k k1 k2 f2 k 5 f1 k f2 k f1 k f2 k f1 k f2 k 求卷积和是本章的重点 3 3卷积和 例1如图复合系统由三个子系统组成 其中h1 k k h2 k k 5 求复合系统的单位序列响应h k 解根据h k 的定义 有 h k k h1 k k h2 k h1 k h1 k h2 k h1 k h1 k h1 k h2 k h1 k k k k 5 k k 1 k k 1 5 k 5 k 1 k k 4 k 5 3 3卷积和 例2如图复合系统由两个子系统级联组成 其中h1 k 2cos k h2 k ak k 激励f k k a k 1 求复合系统的零状态响应响应yf k 解 yf k f k h1 k h2 k 2cos k ak k k a k 1 2cos k ak k ak k 1 2cos k k 2cos k