《微积分二》二元函数的极限与连续

8 3二元函数的极限与连续 1 二元函数的极限 2 二元函数的连续性 3 二元初等函数 二元函数的极限定义 或 或 设二元函数z f x y 在点P0 x0 y0 的邻域内有定义 点P0可以除外 如果当点P x y 无论以何种方式趋向于点P0 x0 y0 时 函数值f x y 可以无限逼近常数A 则称A为函数f x y 在P P0时的极限 记作 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 2 二元函数的极限也叫二重极限 说明 1 定义中的方式是任意的 4 如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 解 设P x y 沿直线y kx趋于点 0 0 在点 0 0 的极限 则有 k值不同极限不同 在 0 0 点极限不存在 例1 讨论函数 等价无穷小的替换 例2 求二重极限 例3 练习 定义8 4 二元函数在某点的连续性 设函数f x y 满足条件 1 在点 x0 y0 的某邻域内有定义 则称函数f x y 在点 x0 y0 处连续 否则称点 x0 y0 是函数f x y 的间断点 直观上来看 若函数在区域D上连续 则其对应的空间曲面没有裂缝 没有洞 是一个连续曲面 如果函数f x y 在平面区域D内每一点都连续 则称函数f x y 在区域D内连续 连续函数 例如 在 0 0 处间断 直观上来看 若函数在区域D上连续 则其对应的空间曲面没有裂缝 没有洞 是一个连续曲面 如果函数f x y 在平面区域D内每一点都连续 则称函数f x y 在区域D内连续 连续函数 二元连续函数与一元连续函数有类似的性质 1 二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数 2 二元连续函数经过复合运算后仍为二元连续函数 有界闭区域上二元连续函数的性质 有界性与最大 最小值定理 介值定理 若函数在有界闭区域D上连续 则在D上有界 且能取得最大值和最小值 若函数在有界闭区域D上连续 为D中任意两点 且则对任何满足不等式 的实数 必存在点 使得 举例 由变量x y的基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所表示的函数叫二元初等函数 二元初等函数 二元初等函数在其定义区域上都是连续的 函数f x y 3x y在定义区域内连续 故在点 1 2 处的极限值等于这点的函数值f 1 2 5 例4 求二重极限 例5 讨论函数 的连续性 解 当时 函数为初等函数 故连续 当时 故函数在处连续 综上 函数在其定义区域上连续 课堂思考题