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《微积分二》二元函数的极限与连续

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卖家[上传人]：ali****an

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1、 8 3二元函数的极限与连续 1 二元函数的极限 2 二元函数的连续性 3 二元初等函数二元函数的极限定义或或设二元函数z f x y 在点P0 x0 y0 的邻域内有定义点P0可以除外如果当点P x y 无论以何种方式趋向于点P0 x0 y0 时函数值f x y 可以无限逼近常数A 则称A为函数f x y 在P P0时的极限记作 3 二元函数的极限运算法则与一元函数类似 2 二元函数的极限也叫二重极限说明 1 定义中的方式是任意的 4 如果当P以两种不同方式趋于P0时函数趋于不同的值则函数的极限不存在解设P x y 沿直线y kx趋于点 0 0 在点 0 0 的极限则有 k值不同极限不同在 0 0 点极限不存在例1 讨论函数等价无穷小的替换例2 求二重极限例3 练习定义8 4 二元函数在某点的连续性设函数f x y 满足条件 1 在点 x0 y0 的某邻域内有定义则称函数f x y 在点 x0 y0 处连续否则称点 x0 y0 是函数f x y 的间断点直观上来看若函数在区域D上连续则其对应的空间曲面没有裂缝没有洞是一个连续曲面

2、如果函数f x y 在平面区域D内每一点都连续则称函数f x y 在区域D内连续连续函数例如在 0 0 处间断直观上来看若函数在区域D上连续则其对应的空间曲面没有裂缝没有洞是一个连续曲面如果函数f x y 在平面区域D内每一点都连续则称函数f x y 在区域D内连续连续函数二元连续函数与一元连续函数有类似的性质 1 二元连续函数经过四则运算后仍为二元连续函数 2 二元连续函数经过复合运算后仍为二元连续函数有界闭区域上二元连续函数的性质有界性与最大最小值定理介值定理若函数在有界闭区域D上连续则在D上有界且能取得最大值和最小值若函数在有界闭区域D上连续为D中任意两点且则对任何满足不等式的实数必存在点使得举例由变量x y的基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子所表示的函数叫二元初等函数二元初等函数二元初等函数在其定义区域上都是连续的函数f x y 3x y在定义区域内连续故在点 1 2 处的极限值等于这点的函数值f 1 2 5 例4 求二重极限例5 讨论函数的连续性解当时函数为初等函数故连续当时故函数在处连续综上函数在其定义区域上连续课堂思考题

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