奥数重难点归纳总结(四升五)_杨秀情

本期重难点归纳总结秀情容提要数论 循环小数 数的整除 质数与合数几何 三角形中的比例关系 四边形中的比例关系应用题 多人相遇与追及 多次相遇与追及 牛吃草问题 组合 构造与论证之组合原理综合运用 复杂竖式与数字谜中的最值问题 复杂抽屉原理 计数综合数学思想从反面情况与特殊情况考虑 对应与转化思想数论 循环小数 数的整除 质数与合数一、循环小数1、小数的基本分类小数 有限小数 无限小数 无限不循环小数(一定不能写成分数形式) 纯循环小数 循环小数 混循环小数2、循环小数化分数(1) 纯循环小数化分数分母中只出现9分母中9的个数与其循环节的位数对应,分子是一个循环节的数字组成的例: =(2)混循环小数化分数分母中出现9和0, 分母中9的个数与其循环节的位数对应,0的个数与小数点后不循环的位数对应分子是不循环节部分连上第一个循环节组成的多位数与不循环部分组成的多位数相减所得到的差例:= = =3、分数化小数的归类(1)如果分数的分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数(2)如果分数的分母不含有质因数2和5，只由2和5以外的质因数组成，那么这个分数一定能化成纯循环小数(3)如果分数的分母既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数二、数的整除1、一个数被常见数整除的特征2系列被2整除只需看个位能否被2整除被4整除只需看末两位能否被4整除被8整除只需看末三位能否被8整除，依此类推3系列被3整除只需看各位数字之和能否被3整除被9整除只需看各位数字之和能否被9整除5系列被5整除只需看末位是否为0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00，25，50，75被125整除的特征依次类推看末三位7、11、13系列通用特点(1)一个数如果是1001的倍数，即能被7、11、13整除(2)从右边开始，三位一段，奇数段之和与偶数段之和的差（大减小）如果是7、11、13的倍数，则其为7、11、13的倍数特殊特点被11整除：从右边开始，第奇数位的和与第偶数位的和之差（大减小）是11的倍数2、合数的整除特征判断一个数能否被某个合数整除，一般的方法是先把这个合数分解成几个容易判断整除的数的乘积的形式，并且这些数两两互质，再分别判断3、试除法在整除里，对未知部分，我们可以使用试除法，令被除数为最大或为最小（一般为最小）三、质数与合数1、 质数: 除了和它本身，不再有其它的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)2、 合数：除了1和它本身，还有其它的约数，这个数叫做合数要特别记住：和既不是质数，也不是合数3 、常用的以的质数：、，共计个4、 两个唯一：是唯一的偶质数，其余质数都是奇数5是唯一个位为5的质数，即唯一的5的倍数5、 除了和，其余的质数个位数字只能是，或6、 最小的四位质数是10097、 判断一个数是否是质数的方法判断P是否为质数:找一个大于且接近的平方数再列出所有不大于的质数用这些质数去除，如没有能够除尽的那么就为质数例如:判断149是否为质数?149很接近169=1313比13小的质数:2,3,5,7,11149不能被2,3,5,7,11整除 149是质数8、 分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数 这个质数是这个数的质因数互质数：公约数只有1的两个自然数 互质数分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 分解质因数例如：(分解质因数的标准式)9、约数个数定理约数个数:指数加1再相乘几何 共边定理 三角形中的比例关系 共角定理 四边形中的比例关系 蝴蝶定理 梯形蝴蝶定理一、三角形中的比例关系三角形面积=底高2底相等 看高高相等 看底（特殊：共同顶点）等底等高 相等1、共边定理（三角形等积变形）容跟课件的一样，请课件制作人员按照课件的容来做 2、 共角定理（鸟头模型）（1）（2）（3）沙漏模型： 二、四边形中的比例关系1、蝴蝶模型 或S1S3= S2S42、梯形蝴蝶模型 梯形面积S的对应份数是（a+b）2 多人相遇与追及应用题 多次相遇与追及 牛吃草问题一、多人相遇与追及1、行程问题的核心公式路程=速度时间速度=路程时间时间=路程速度2、直线型相遇、追及相遇时间=路程和速度和追及时间=路程差速度差3、环型相遇、追及相遇：每相遇一次共走1圈追及：每追上一次多走1圈4、解题方法 比例：建立设份数的思想方程：找到同一个量的两种表示形式做行程问题一定要画图二、多次相遇与追及 相遇时间=路程和速度和 追及时间=路程差速度差 相遇：共走路程和本质 追及：多走路程差 画图分析 当次数较多时，可从周期性，规律性出发三、牛吃草问题 同一块草地上的牛吃草问题 多块草地上的牛吃草问题 牛吃草变形题1、牛吃草问题的基本量牛：每头牛每天的食草量不变 通常“设1头牛1天吃1份草(1)两个重要角色草：原有草 新生草 (2) 要想求出答案必须先已知两个量原有的草量每天生长量2、牛吃草问题基本步骤每天长的草量原来有的草量让一些牛去吃每天长的草3、牛吃草变形题：谁相当于草谁相当于牛谁是原有量谁是新生量组合 构造与论证之组合原理综合运用 复杂竖式与数字谜中的最值问题 复杂抽屉原理 计数综合一、构造与论证之组合原理综合运用抽屉原理最值原理统筹原理容斥原理抽屉原理把苹果放抽屉里 必然有什么结果抽屉 苹果1、把4个苹果放到3个抽屉里，必有1个抽屉里至少有2个苹果（出现4个苹果和3个抽屉，然后放进去）2、把10个苹果放到3个抽屉里，必有一个抽屉里至少有4个苹果（出现10个苹果和3个抽屉，然后放进去） 最不利原则抽屉原理 平均分原则最值原理 极限思想任我意法特殊情况统筹原理时间最短花钱最少路程最小容斥原理容 包容斥 排斥如（手画）这是什么法宝？ 韦恩图总结：奇层加，偶层减二、复杂竖式与数字谜中的最值问题 1 个位数字分析法 2高位数字分析法 3 数字估算分析法（结合数位）数字谜的分析方法 4进位借位分析法 5 分解质因数法 6 奇偶分析法 1极限思想最值问题考虑方法 2 假设法 3乘积：如果两个数和一定，差小积大三、计数综合枚举法（树形图）解计数问题常用方法 加乘原理（标数法）排列组合（有序排列，无序组合）1、枚举法（树形图）枚举法结果 不重复、不遗漏一一列举注意结果相同的情况 免做重复劳动2、加乘原理标数法加乘原理解题步骤1 分类2 每一类部用乘法原理3 各类相加标数法：（手写）确定大方向每点从哪来 不能走标03、排列组合1 有序排列，无序组合2 排列数记为：Anm， n为总数,m为参加排列的数目 组合数记为：Cnm n为总数,m为要选的数目3排列组合的本质 乘法原理4排列组合中一些重要的方法排除法优先法捆绑法插空法隔板法 数学思想从反面情况与特殊情况考虑 对应与转化思想一、从反面情况与特殊情况考虑两大化难为易的法宝：反面情况考虑当正面很难求时用（排除法） 特殊情况考虑一般情况难求时用 （极限法）二、对应与转化思想 计数问题:两者一 一对应,则个数相等对应:一一对应的思想 覆盖问题:寻找关键格,分类对应 大小与求差值问题 比大小:有剩余即为多求差值:一 一对应的部分抵消后即为差值转化:化繁为简的思想