2020高考数学复习 不等式恒成立问题的几种求解策略（通用）

2020高考数学复习 不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题，把不等式、函数、数列、几何等有机地结合起来，覆盖知识点多，方法多种多样，是近几年数学高考、竞赛中考查的热点。但同学们对解决此类问题往往感到无从下手，得分率偏低。为此就这类问题的解题策略作一探讨共同学们参考。一、数形结合思想例1 （2002年全国高考题）已知a>0，函数f(x)=ax-bx2.(1)当b>0时，若对任意xR,都有f(x)1,证明：a2；(2)当b>1时，证明：对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件是b-1a2; （3）当0< b<1时,讨论:对任意x0,1,|f(x)|1的充要条件. 证明（1）由已知ax-bx21,得bx2-ax+10.要使bx2-ax+10对任意xR恒成立，结合抛物线图象（如图1），可知，只需=a2-4b0,a<2.(2)|f(x)|1-1f(x)1.结合抛物线图象（如图2，3），可知|f(x)|1的充要条件是当b>1时，2b>b+1，（II）无解。又由b>1，有b>,2b>2,由(1)得b-1a2b|f(x)|1b-1a2b(3)因为a>0,0<b1时, 对任意x0,1有f(x) =ax-bx-b-1,即f(x) -1f(x) 1 f(1) 1 a-b1 ab+1当a>0,0<b 1时对任意x0,1, |f(x)|1的充要条件是ab+1评注 此题充分结合二次函数图象，考察在“轴动区间定”的情况下二次函数的最值问题，思路很易找到，结论很快得证。数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种有效方法。二、分离参数，最值转换例2 （2020年全国高中联赛题）使不等式对一切xR恒成立的负数a的取值范围是_。解 原不等式可化为设t=cosx，则t-1,1,二次函数g(t)=t2+(1-a)t图象的对称轴为a<1, ,结合抛物线图象知要使式对一切xR恒成立，只需即2-aa2, a-2.例3 （2020年全国高考题）设a为常数，且an=3n-1-2an-1(nN*).(1)证明：对任意n1,(2)假设对任意 n1有a>a,求a的取值范围.解(1)略(2)由(1)知而1当n=2k-1时，式为即令要使式对一切kN*都成立，只需2. 当n=2k时，式为即令,要使式对一切kN*都成立，只需综上，式对任意nN*都成立，有即a0的取值范围评注 （1）对于不等式恒成立条件下求参数取值范围问题，常常把所求参数从不等式的主元中分离出来，利用函数的值域或最值求得问题的解。如例2把参数a从主元x中分离出来；例3把参数a从主元n中分离出来。（2）此题运用了结论：f(x)<a恒成立f(x)>a恒成立三、取特殊值例4 同例3（2）。解 假设对任意nN*,有an>an-1,则取n=1,2有下面证明当时，对任意nN*有an-an-1>0.由通项公式得(1)当n=2k-1时，(2)当n=2k时，故a0的取值范围为（0，）。例5（07年高考）已知函数f(x)=e-e, f(x) ax对x0恒成立,求a的取值范围.解:令g(x)=f(x)-ax g(x)= e-e-a(1)若a2则x0时g(x)= e-e-a>2-a0 g(x)在x0时为增函数g(x)g(0)=0 即f(x) ax(2)若a>2方程g(x)=0的正根为ln此时,若x(0,x)则g(x)<0 , g(x)在该区间为减函数. x(0,x)时g(x)<g(0)=0 即f(x)<g(x)这与题设f(x) ax相矛盾.综上,满足条件的a的取值为(-,2)评注 取特殊值的方法，对做选择题很有效，在恒成立问题上也不失为一个好办法。四、变元转换求解例6 对|m|2的一切实数m，求使不等式2x-1>m(x2-1)都成立的x的取值范围。解 原不等式等价于不等式(x2-1)m -(2x-1)<0.设f(m)=(x2-1)m-(2x-1),则原问题转化成求一次函数f(m)或常函数在-2，2内恒为负值时，x取值范围。（1）当x2-1=0时，x=1.当x=1时，f(m)<0恒成立，当x=-1时，f(m)<0不成立。（2）当x2-10时，由一次函数单调性知综上，所求的评注 本题的关键是变元，构造m的一次函数或常函数，利用一次函数单调性顺利求解，从而避免了解关于x的不等式mx2-2x+1<0的大讨论。练习:1.设f(x)=e-kx,若k>0对任意xR,f(|x|)>0恒成立,试求k的取值范围.2.设0<1,且对xR恒有ax+2bx-2b<0 (a<0)成立,求k的最小值.3.若x+ax+10对一切x(0,)成立,求a的最小值.