2020届高三第二次月考数学（理）试题 PDF版含解析

理科数学参考答案 第 1 页 共 7 页 理科数学参考答案 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B C B D A C C C A A 解析 1 由 1 2 3 A 21 By yxxA 3 5 7 B 因此 1 2 3 5 7 AB 故选 D 2 2i13i 1i2 z 13i 2 z 故选 D 3 若 0ab 则 ab 所以 ab 若 ab 则 0ab不一定成立 故前者是后者的必 要不充分条件 故选 B 4 由题意知前 5 个个体的编号为 08 02 14 07 01 故选 C 5 设等比数列 n a的公比为 q 由题意知 2 3544 4 1 a aaa 则 2 44 440aa 解得 4 2a 又 1 1 4 a 所以 34 1 8 a q a 即2q 所以 21 1 2 aa q 故选 B 6 由三视图知 该几何体是四棱锥 底面是直角梯形 且 1 12 23 2 S 底 1 3 3 Vx 3 解得3x 故选 D 7 设 3 1 P 圆心 2 2 C 则 2PC 由题意知最短的弦过 3 1 P 且与 PC 垂直 所以 最短弦长为 22 2 2 2 2 2 故选 A 8 由题意得知其运算结果为 2 3 3 522 故选 C 9 如图 1 所示 将直三棱柱 111 ABCABC 补充为长方体 则该长方 体的体对角线为 222 2 3 3 14 设长方体的外接球的半径为 R 则24R 2R 所以该长方体的外接球的体积 3 432 33 VR 故选 C 10 根据函数图象可知 当0 x 时 切线的斜率小于 0 且逐渐减小 当0 x 时 切线的斜 率大于 0 且逐渐增大 故选 C 图 1 理科数学参考答案 第 2 页 共 7 页 11 由题意 0 Aa 0 F c 3 22 caca M 由双曲线的定义可得 2 2 cac caaa c 22 340caca 2 340ee 4e 故选 A 12 0fxf x 函数 yf x 的图象关于 0 0 对称 即函数 yf x 为奇函数 0 0f 1 3f 2 2 4 2 2 4 2 f xfxff xf 4 f x 4 2 f xf 8 4 4 2 f xf xff x 函数的周期为 8 2019 f 252 83 3 ff 而 2 2 4 2 fff 故 2 0f 故 3 1 4 2 1 ffff 3 故选 A 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 题号 13 14 15 16 答案 1 2 2 5 2 1 1nn 解析 13 因为 111111 232336 MNMCCNACCBACABACABAC 所以 1 2 xy 14 利用线性规划作图系解得 2 15 1203333 33 C 2 C65xxyyxx yx yx y 系数为 5 16 由 111111 22 2 nnnnnnnnn aa aa aa aaan 得 11 112 2 nnn aaa 所以 1 11 nn aa 1 11 2 nn aa 所以数列 1 11 nn aa 是以 2 为首项 2 为公差的等差数列 所以 1 n a 2 121321 1111111 222 1 11 2 2 nn nn nnn aaaaaaa 当 1n 时上式也成立 所以 2 1 1 n nn a 所以 2 1 1 n a nn 三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 解 1 设 n a的公比为 q 由题设可得 1 2 1 1 2 1 6 aq aqq 理科数学参考答案 第 3 页 共 7 页 解得2q 1 2a 故 n a的通项公式为 2 n n a 6 分 2 由 1 可得 1 1 1 22 1 133 nn n n aq S q 由于 32 21 422 1 33 nn n nn SS 1 22 2 1 2 33 n n n S 故 1n S n S 2n S 成等差数列 12 分 18 本小题满分 12 分 解 1 由直方图可估算 2019 年 以 365 天计算 全年空气质量优良的天数为 0 10 2 3650 3 365109 5110 天 3 分 2 空气质量指数在 0 50 50 100 100 150 的天数中各应抽取 1 2 3 天 6 分 3 由题意知 X 的取值为 2000 4000 6000 8000 1 2 2 6 C2 2000 C15 P X 21 23 2 6 CC4 4000 C15 P X 11 23 2 6 C C2 6000 C5 P X 2 3 2 6 C1 8000 C5 P X 12 分 19 本小题满分 12 分 1 证明 3AB 1BC 90ABC 2AC 60BCA 在 ACD 中 2 3AD 2AC 60ACD 由余弦定理可得 222 2cosADACCDAC CDACD 4CD X 2000 4000 6000 8000 P 2 15 4 15 2 5 1 5 理科数学参考答案 第 4 页 共 7 页 222 ACADCD ACD 是直角三角形 又 E 为 CD 的中点 1 2 AECDCE 又 60ACD ACE 是等边三角形 60CAEBCA BCAE 又 AE 平面 PAE BC 平面 PAE BC 平面 PAE 6 分 2 解 由 1 可知90BAE 以点 A 为原点 以 AB AE AP 分别为 x 轴 y 轴 z 轴建立如图 2 的空间直角坐标系 则 0 0 2 P 3 0 0 B 3 1 0 C 3 3 0 D 3 02 PB 3 12 PC 3 32 PD 设 nxy z 为平面 PBC 的一个法向量 则 0 0 n PB n PC 即 320 320 xz xyz 设1x 则0y 3 2 z 3 1 0 2 n 2 321 cos 7 7 16 4 n PD n PD nPD 直线 PD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 21 7 12 分 20 本小题满分 12 分 解 1 22 6 33 P 是抛物线 E 2 2 0 ypx p 上一点 2p 即抛物线 E 的方程为 2 4yx 1 0 F 22 1ab 图 2 理科数学参考答案 第 5 页 共 7 页 又 22 6 33 P 在椭圆 C 22 22 1 xy ab 上 22 48 1 93ab 结合 22 1ab 知 2 3b 舍负 2 4a 椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy 抛物线 E 的方程为 2 4yx 5 分 2 如图 3 由题意可知直线l1的斜率存在 设直线l1的方程为 1 yk x 11 A xy 22 B xy 33 C xy 44 D xy 当0k 时 4AB 直线 l2的方程为1x 4CD 故 1 8 2 ACBD SABCD 四边形 当0k 时 直线 l2的方程为 1 1 yx k 由 22 1 1 43 yk x xy 得 2222 34 84120kxk xk 2 12 2 8 34 k xx k 2 12 2 412 34 k x x k 由弦长公式知 2 222 121212 2 12 1 1 1 4 43 k ABkxxkxxx x k 同理可得 2 4 1 CDk 222 2 22 11 12 1 24 1 4 1 224343 ACBD kk SABCDk kk 四边形 令 2 1tk 1 t 则 2 2 2 242424 41 41 1 24 ACBD t S t tt t 四边形 当 1 t 时 1 0 1 t 2 1 243 t 24 8 3 ACBD S 四边形 综上所述 四边形 ACBD 面积的最小值为 8 12 分 图 3 理科数学参考答案 第 6 页 共 7 页 21 本小题满分 12 分 解 1 当2a 时 2 2 exf xxx 2 2 exfxx 当 0fx 时 2 2 e0 x x 注意到e0 x 所以 2 20 x 解得22x 所以函数 f x的单调递增区间为 22 同理可得 函数 f x的单调递减区间为 2 和 2 4 分 2 因为函数 f x在 1 1 上单调递增 所以 0fx 在 1 1 上恒成立 又 2 2 exfxxaxa 即 2 2 e0 x xaxa 注意到e0 x 因此 2 2 0 xaxa 在 1 1 上恒成立 也就是 2 21 1 11 xx ax xx 在 1 1 上恒成立 设 1 1 1 yx x 则 2 1 10 1 y x 即 1 1 1 yx x 在 1 1 上单调递增 则 13 1 1 1 12 y 故 3 2 a 12 分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 解 1 利用 22 cossin1 把圆 C 的参数方程 1cos sin x y 为参数 化为 22 1 1xy 2 2 cos0 即2cos 5 分 2 设 11 为点 P 的极坐标 由 11 1 2cos 3 解得 1 1 1 3 理科数学参考答案 第 7 页 共 7 页 设 22 为点 Q 的极坐标 由 222 2 sin3cos 3 3 3 解得 2 2 3 3 12 12 2PQ 10 分 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 解 1 当1a 时 230 2 1 201 321 x x f xxxxx xx 当0 x 时 由238x 得20 x 当01x 时 由28x 得01x 当1x 时 由32 8x 得 10 1 3 x 综上所述 不等式 8f x 的解集为 10 2 3 5 分 2 230 2 20 32 ax x f xxxaaxxa xa xa 则 f x在 a 上单调递减 在 a 上单调递增 当xa 时 f x取最小值 a 若 6f x 恒成立 则6a 实数 a 的取值范围为 6 10 分