2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题（陕西卷）精校版（通用）
2020年普通高等学校招生全国统一考试（陕西A卷）理科数学（必修+选修）一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.集合A=x，B=，则= （D）（A） (B) (C) x (D) x 2.复数在复平面上对应的点位于 （A） （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3.对于函数，下列选项中正确的是 （B） （A）在（，）上是递增的 （B）的图像关于原点对称 （C）的最小正周期为2 （D）的最大值为24.（）展开式中的系数为10，则实数a等于 （D）（A）-1 （B） (C) 1 (D) 25.已知函数=，若=，则实数a等于 （C）（A） （B） (C) 2 (D) 96.右图是求样本x 1，x2，x10平均数的程序框图，图中空白框中应填入的内容为【A】(A) S=S+x n (B) S=S+ (C) S=S+ n (D) S=S+7. 若某空间几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积是【C】(A) (B) (C) 1 (D) 2 8.已知抛物线y2=2px（p0）的准线与圆x2+y26 x7=0相切，则p的值为【C】(A) (B)1 (C) 2 (D) 49.对于数列a n，“a n（n=1，2）”是“a n为递增数列”的【B】(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件10.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表。那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x（x表示不大于x的最大整数）可以表示为【B】(A) y= (B) y= (C) y= (D) y=二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）。11.已知向量=（2，-1），b=(-1,m)，c=(-1,2),若, 则m= -1 _12. 观察下列等式：13+23=32，13+23+=62，13+23+33+43=102，根据上述规律，第五个等式为 .13.从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为.14.铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：ab(万吨)C（百万元）A50%13B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁,若要求的排放量不超过2(万吨),则购买铁矿石的最少费用为_15_ (百万元)15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A. (不等式选做题) 不等式的解集为.B. (几何证明选做题) 如图，已知的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为直径的圆与AB交于点D，则. C. (坐标系与参数方程选做题) 已知圆C的参数方程为（a为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为则直线与圆C的交点的直角坐标为.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)已知是公差不为零的等差数列,成等比数列.（）求数列的通项; （）求数列的前n项和.17（本小题满分12分） 如图，A，B是海面上位于东西方向相聚海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？ 解：由题意知海里，在中,由正弦定理得，=（海里）答：救援船到达D点需要1小时.注：如果认定为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD,同样给分.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,AP=AB=2,BC=，E，F分别是AD，PC的中点. （）证明：PC平面BEF；（）求平面BEF与平面BAP夹角的大小. 解法一: （）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.AP=AB=2,BC=AD=,四边形ABCD是矩形.A，B，C，D，P的坐标为A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2, ,0)，D(0，0)，P(0,0,2)，又E，F分别是AD，PC的中点，E(0，0)，F(1，1).=（2，-2）=（-1，1）=（1,0,1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，PCBF，PCEF，BFEF=F,PC平面BEF，（II）由（I）知平面BEF的法向量,平面BAP 的法向量, . 设平面BEF与平面BAP的夹角为，则,=45， 平面BEF与平面BAP的夹角为45.解法二 （I）连接PE，EC在和中. PA=AB=CD, AE=DE, PE= CE, 即PEC 是等腰三角形，又F是PC 的中点，EFPC,又，F是PC 的中点， BFPC.又,.（II）,又ABCD是矩形，ABBCBC平面BAP,BCPB,又由（）知PC平面BEF, 直线PC与BC的夹角即为平面BEF与平面BAP的夹角，在中，所以平面BEF与平面BAP的夹角为45.19.（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在170185cm之间的概率；（）从样本中身高在165180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170180cm之间的概率.解: （）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.（）有统计图知，样本中身高在170185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170185cm之间的频率故有估计该校学生身高在170180cm之间的概率（）样本中女生身高在165180cm之间的人数为10，身高在170180cm之间的人数为4。设A表示事件“从样本中身高在165180cm之间的女生中任选2人，至少有1人身高在170180cm之间”，则. 20.（本小题满分13分）如图，椭圆C：的顶点为焦点为,. ()求椭圆C的方程；()设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. (i) 当l不垂直于x轴时，设l的方程为,由l与n垂直相交于P点且得，即. = =1+0+0-1=0，即将代入椭圆方程，得 ，由求根公式可得 将，代入上式并化简得 将代入并化简得，矛盾.即此时直线不存在.21、(本小题满分14分)已知函数，g（x）=，.（）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；（）对（）中的和任意的时，证明：解： （）=,=(x>0),由已知得 解得a=，x=e2, 两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为 切线的方程为（）由条件知 （1） 当a.>0时，令解得， 当0 << 时，在（0，）上递减；当x>时，在上递增.（iii）由（）知对任意的 故由，得
