哈工大研究生数值分析试题与答案

1. 分别是方程 的根；讨论用Newton迭代法求它们近似值的收敛阶。取初值计算根的近似值，要求迭代3次。（结果保留4位小数）解： 设 ， 则：是的单根，故Newton迭代在附近是平方收敛； 是的二重根，故Newton迭代在附近是线性收敛； 取，Newton迭代： 2. 设常数 ，求出的取值围使得解方程组 的Jacobi迭代法收敛。解： Jacobi迭代： 迭代矩阵的特征方程： 即： 特征根： 谱半径： 时Jacobi迭代收敛 故： 3. 设（1）用Crout三角分解法求解方程组 ； （2）用乘幂法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和对应的特征向量。（取 ，计算迭代三次的值）解： （1）Crout三角分解： ， 求解得 求解得 （2） ， ， ， ， 4. 试利用插值多项式证明：对恒有等式 证明： 设 由插值多项式的唯一性，比较Lagrange与Newton插值最高项系数得： 由差商与导数关系，有 将 代入上面两等式，有 5. 求4次Hermit插值多项式 ，满足： 并写出误差表达式。解： 方法一：因 ，故设： 由 ，得 得 误差： 方法一：满足的插值多项式为： 设： 由 得：由 误差：6. 试求求积公式 的求积系数 ，使得其有尽可能高的代数精度，是否是Gauss型的？并用此公式计算积分（结果保留5位小数）。解： 令 求积公式准确成立，有： 得： 求积公式： 令 求积公式准确成立的，求积公式不是准确成立的， 求积公式代数精度为3，是Gauss型的； 作变换 7. 用最小二乘法求一个形如 的经验公式，使它与下列数据拟合192531384419.032.349.073.397.8解： 取 ，拟合函数为 法方程为： 得： 拟合函数为 8. 用共轭梯度方法解方程组： （取初值 ）。共轭梯度方法: 解： 是对称正定阵； 解为： 9. 应用Heun方法： 解初值问题 时，问步长应如何选取方能保证方法的绝对稳定性？ 并在 中选取数值稳定的步长计算的近似值.解： 将Heun方法应用到方程上，有： 其中 当 时，方法是绝对稳定的， 即 时方法是绝对稳定的； 故取 ，即，方法是绝对稳定的 10. 求解常微分方程初值问题 的两步方法： （1）求出局部截断误差； （2）讨论方法的收敛性； （3）讨论方法的绝对稳定性。解： （1） 把局部截断误差在处Taylor展开： （2），方法是相容的； 第一特征多项式：，两根为： 是单根，方法满足根条件； 由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。（2） 稳定多项式：，由绝对稳定性要求知 故由参考定理知：的两根故，即当时方法是绝对稳定的。应用1. 试确定是方程 的几重根；取初值用改进的具有二阶收敛速度的Newton迭代法求的根的近似值。要求迭代2次（结果保留4位小数）。解： ，是方程 的3重根；改进的具有二阶收敛速度的Newton迭代法：应用4. 若用复化梯形公式计算积分 ，要求截断误差不超过 （舍入误差不计），问需要计算多少个节点上的函数值？解： 复化求积公式余项为： 其中： 因 有 若 ，得： 即 取 ， 故至少需519个节点才能保证截断误差不超过。应用9. 写出经典4阶Runge-Kutta方法求解初值问题 的计算公式，并取步长，计算的近似值.（小数点后至少保留4位）解：