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哈工大研究生数值分析试题与答案

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常见问题

1、1. 分别是方程的根；讨论用Newton迭代法求它们近似值的收敛阶。取初值计算根的近似值，要求迭代3次。（结果保留4位小数）解：设，则：是的单根，故Newton迭代在附近是平方收敛；是的二重根，故Newton迭代在附近是线性收敛；取，Newton迭代： 2. 设常数，求出的取值围使得解方程组的Jacobi迭代法收敛。解： Jacobi迭代：迭代矩阵的特征方程：即：特征根：谱半径：时Jacobi迭代收敛故： 3. 设（1）用Crout三角分解法求解方程组；（2）用乘幂法求方程组系数阵的按摸最大的特征值和对应的特征向量。（取，计算迭代三次的值）解：（1）Crout三角分解：，求解得求解得（2），，，， 4. 试利用插值多项式证明：对恒有等式证明：设由插值多项式的唯一性，比较Lagrange与Newton插值最高项系数得：由差商与导数关系，有将代入上面两等式，有 5. 求4次Hermit插值多项式，满足：并写出误差表达式。解：方法一：因，故设：由，得得误差：方法一：满足的插值多项式为：设：由得：由误差：

2、6. 试求求积公式的求积系数，使得其有尽可能高的代数精度，是否是Gauss型的？并用此公式计算积分（结果保留5位小数）。解：令求积公式准确成立，有：得：求积公式：令求积公式准确成立的，求积公式不是准确成立的，求积公式代数精度为3，是Gauss型的；作变换 7. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合192531384419.032.349.073.397.8解：取，拟合函数为法方程为：得：拟合函数为 8. 用共轭梯度方法解方程组：（取初值）。共轭梯度方法: 解：是对称正定阵；解为： 9. 应用Heun方法：解初值问题时，问步长应如何选取方能保证方法的绝对稳定性？并在中选取数值稳定的步长计算的近似值.解：将Heun方法应用到方程上，有：其中当时，方法是绝对稳定的，即时方法是绝对稳定的；故取，即，方法是绝对稳定的 10. 求解常微分方程初值问题的两步方法：（1）求出局部截断误差；（2）讨论方法的收敛性；（3）讨论方法的绝对稳定性。解：（1）把局部截断误差在处Taylor展开：（2），方法是相容的；第一特征多项式：，两根为：是单根，方法满足根条件；由收敛的充分必要条件知方法是收敛的。（2）稳定多项式：，由绝对稳定性要求知故由参考定理知：的两根故，即当时方法是绝对稳定的。应用1. 试确定是方程的几重根；取初值用改进的具有二阶收敛速度的Newton迭代法求的根的近似值。要求迭代2次（结果保留4位小数）。解：，是方程的3重根；改进的具有二阶收敛速度的Newton迭代法：应用4. 若用复化梯形公式计算积分，要求截断误差不超过（舍入误差不计），问需要计算多少个节点上的函数值？解：复化求积公式余项为：其中：因有若，得：即取，故至少需519个节点才能保证截断误差不超过。应用9. 写出经典4阶Runge-Kutta方法求解初值问题的计算公式，并取步长，计算的近似值.（小数点后至少保留4位）解：

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