2020年九年级中考数学复习：动态几何问题的解法探究 含答案

2020年九年级中考数学复习：动态几何问题的解法探究1. （1）如图1.四边形ABCD中，AB=CB，ABC=600，ADC=1200，请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系，并证明你的结论；（2） 如图2.四边形ABCD中，AB=BC，ABC=600，若点P为四边形ABCD内一点，且APD=1200，请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的的数量关系，并证明你的结论。解析：（1）连接AC，因为AB=CB，ABC=600，则ACD是等边三角形。将ACD绕点A顺时针旋转600，AC与AB重合，AEBADC,AEB=ADC=1200,AED=ADC=600,点B、E、D在一条直线上，故有BD=BE+DE，DE=AD,BE=DC。BD=AD+CD（3） 将ABD绕点A逆时针旋转600，得ACH，则有DAH =600,CH=BD, DA=AH, DH=AH，又APD=1200，由（1）知PA+PD=CHPA+PD=PH。在PCH中，PH+PC>CHPA+PD+PC>BD。2. 如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于Q。探究：设A、P两点间的距离为x。（1） 当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；（2） 当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；（3） 当点P在线段AC上滑动时，PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置。并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由。解析：(1)过P作EFAD则四边形AEFD是矩形，EF=AD=AB, 又AE=EP,PF=BE, PEB=QFP, EPB=FQP. EPBFQP. PQ=PB.(2) 过P分别作PFDC,PEBC,垂足分别为F、E。由SAS容易证得PEBPFQ, S四边形PBCQ=S正方形PECF，AP=x，AC=，PC=-x， S正方形PECF=（-x）2.S四边形PBCQ=x2-x+1(0x)(3) 当点P在始点A时，点D与点 D重合，此时 x=0.PC=CQ时，由PCQ=1200，可推出AP=AB=1，AC=，PC=CQ=-1,点Q 在DC的延长线上，此时x=1.当Q在DC边上时，PQC>900,此时三角形内角和大于1800，不存在PQ=PC。当Q在DC延长线上时，PCQ>900，同理可知，不存在PQ=CQ。3. 如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC; EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP.（1） 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2） 将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP,BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3） 将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ。你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。解析：（1）观察度量得：AB=AP, ABAP.（2） 由BC=AC,BCQ=ACQ,CQ=CP得BCQACQ,BQ=AP,BQC=APC.由QBC+BQC=900,可得QBC+APC=900，BQAP.（3） 成立。理由如下：由450角直角三角形，可得PC=CQ,AC=BC,ACP=BCQ,BCQACP,BQ=AP,QBC=PAC, 与（2）同理可得出BQAP。4. 已知：三角形ABC中，A=900，AB=AC，D为BC的中点，（1） 如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：DEF为等腰直角三角形。（2） 若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，DEF是否仍然为等腰角三角形？证明你的结论。解析：（1）连接AD，则有AD=BD,EBD=FAD=450,BE=AF,DAFDBE,DE=DF,EDB=FDA, EDB+ADE=900,EDF=FDA+ADE=900,即DEF为等腰直角三角形。(2)连接AD，CAD=ABD=450,FAD=EBD,又AD=BD,AF=BE,DAFDBE,DE=DF,EDB=FDA,FDB+ADF=900,EDF=EDB+FDB=900,即DEF为等腰直角三角形。5.已知：ABC中，以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE，M为CD中点,N为CD中点,这为AB 中点。（1）如图1，当ACB=1200时，MPN的度数为_；（2）如图2，当ACB=（00<<1800）时，MPN的度数是否变化？给出你的证明。解析：（1）分别取AC、BC的中点G、H，连接GM、GP、BP、NH，则有GP=CH=HN,PH=CG=CM,又四边形CGPH是平行四边形，CGP=PHC, MGP=PHN, PMGNPH. PNH=MPG.又PHB=ACB=PNH+NPH+ABH,PNH+NPH=1200-600=600,HPG=GCH=1200,MPN=1200-(MPG+NPH)=600.(2) 与(1)同理可得PNH+NPH=-600，MPN=-(MPG+NPH)=-（-600）=600.5. （1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,B=D=900,E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD。求证：EF=BE+FD；(2)如图在四边形ABCD中，AB=AD, B+D=1800，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？不用证明。（3）如图在四边形ABCD中，AB=AD,B+ADC=1800,E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。解析：（1）在CD的延长线上截取DH=BE，连接AH，由SAS可证得ABEADH,BAE=DAH,AE=AH.又EAF=BAD知DAF+BAE=BAD，FAH=FAE,由SAS可得AFEAFH,EF=FH=FD+DH,即：EF=BE+DF.（2）在CD的延长线上截取DH=BE，连接AH，由B+D=1800可得ADH=ABE,其他的与（1）证法相同，结论也相同。（3）在CD的延长线上截取DH=BE，连接AH，与（1）同理可证得ABEADH,AH=AE，HAD=EAB,DAF=BAE+BAD-BAD=BAE-BADHAF=HAD-DAF=BAE-(BAE-BAD)=BAD,HAF=EAF,又知AE=AH,AF=AF,HAFEAF,EF=FH=DH-DF,即：EF=BE-DF.6.已知：在四边形ABCD中，ADBC,BAC=D,点E、F分别在BC、CD上，且AEF=ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。（1）如图1，若AB=BC=AC，则AE与EF之间的数量关系为_; （2）如图2，若AB=BC，你在（1）中得到的结论否发生变化？写出你的猜想，并加以证明；（3）如图3，若AB=kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想，并加以证明。解析 ：（1）连接AF，由ADBC,得ACB=DAC,又BAC=D,ABCDCA,ABC=ACD=AEF,又由A、E、C 、F四点共圆，可得AFE=ACB,ABCAEF,=1,AE=EF(3) 与（1）同理可证。（3）与（2）同理可得=k。6. 在ABC中，点D在AC上，点E在BC上，且DEAB，将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE(使BCE<1800)，连接AD、BE，设直线BE与AC交于点O。（1） 如图，当AC=BC时，AD:BE的值为_；（2） 如图，当AC=5,BC=4时，求AD:BE的值；（3） 在（2）的条件下，若ACB=600，且E为BC的中点，求OAB面积的最小值。解析：（1）由DEAB，AC=BC可推出CD=CE,CE=CD且BCE=ACD,BCEACD,AD=BE即AD:BE=1.(2)由DEAB得=,又将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE，CE=CE,CD=CD,=且BCE=ACD，BCEACD，AD:BE=AC:BC=5:4.(3)过点A、O分别作AGBC,OFBC，垂足为G,F。当OC最大时，OF才最大，即点E与O重合时，三角形BOC面积最大，此时，三角形ABO面积最小。解直角三角形得：OF =,AG=，ABO最小面积=ABC的面积 -BOC的面积=4（-）=3.7. 已知：在RtABC中，AB=BC,在RtADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM。（1） 若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索BM、DM的关系并给予证明；（2） 如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于450的角，如图，那么（1）中的结论是否仍然成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。解析：（1）在RtABC和RtADE中，由EC的中点M，可得BM=EC,DM=EC,BM=DM.又BME=2BCE, EMD=2ECD,BMD=2BCA=900. BMDM.(2) 过点C作CGDE,交DM延长线于G，过点E，作ENBC，交DM于N,连接BD,BG。则由SAS可证ADMCGM,同理可证ENMCFM，GC=AD，DEM=GCM,NEM=FCM.DEH=GCF.又EHA=ABC=EDA=900,NED=BAD=BCG.根据SAS可得ADBCGB,BD=BG,又DM=MG，BM=DG=DM,BMDM.8. 已知：PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧。（1） 如图，当APB=450时，求AB及PD的长；（2） 当APB变化，且其它条件不变时，求PD最大值。解析 ：（1）过D点作DEPA,交PA延长线于点E，过点B作BFPA交PA于F,过A作AGPA，垂足为G。由APB=450，PA=，可得PG=AG=1,BG=3,运用勾股定理 可得AB=。由SAS可证得DEAAFB,BF=AE,AF=DE.又由PB=4，可得BF=2,DE=AF=,故PE=3，解得PD=2.（3） 将PAD绕点A顺时针旋转900，得PAB,则有PB=PD，当PB最大时，PD就最大。由勾股定理