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2020年九年级中考数学复习:动态几何问题的解法探究 含答案

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  • 文档编号:133701087
  • 上传时间:2020-05-29
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    • 1、2020年九年级中考数学复习:动态几何问题的解法探究1. (1)如图1.四边形ABCD中,AB=CB,ABC=600,ADC=1200,请你猜想线段DA、DC之和与线段BD的数量关系,并证明你的结论;(2) 如图2.四边形ABCD中,AB=BC,ABC=600,若点P为四边形ABCD内一点,且APD=1200,请你猜想线段PA、PD、PC之和与线段BD的的数量关系,并证明你的结论。解析:(1)连接AC,因为AB=CB,ABC=600,则ACD是等边三角形。将ACD绕点A顺时针旋转600,AC与AB重合,AEBADC,AEB=ADC=1200,AED=ADC=600,点B、E、D在一条直线上,故有BD=BE+DE,DE=AD,BE=DC。BD=AD+CD(3) 将ABD绕点A逆时针旋转600,得ACH,则有DAH =600,CH=BD, DA=AH, DH=AH,又APD=1200,由(1)知PA+PD=CHPA+PD=PH。在PCH中,PH+PCCHPA+PD+PCBD。2. 如图,将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上,并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,

      2、另一边与射线DC相交于Q。探究:设A、P两点间的距离为x。(1) 当点Q在边CD上时,线段PQ与PB之间有怎样的数量关系?试证明你的猜想;(2) 当点Q在边CD上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系,并写出函数自变量x的取值范围;(3) 当点P在线段AC上滑动时,PCQ是否可能成为等腰三角形?如果可能,指出所有能使PCQ成为等腰三角形的点Q的位置。并求出相应的x值,如果不可能,试说明理由。解析:(1)过P作EFAD则四边形AEFD是矩形,EF=AD=AB, 又AE=EP,PF=BE, PEB=QFP, EPB=FQP. EPBFQP. PQ=PB.(2) 过P分别作PFDC,PEBC,垂足分别为F、E。由SAS容易证得PEBPFQ, S四边形PBCQ=S正方形PECF,AP=x,AC=,PC=-x, S正方形PECF=(-x)2.S四边形PBCQ=x2-x+1(0x)(3) 当点P在始点A时,点D与点 D重合,此时 x=0.PC=CQ时,由PCQ=1200,可推出AP=AB=1,AC=,PC=CQ=-1,点Q 在DC的延长线上,此时x=1.当Q在DC边上时,PQC90

      3、0,此时三角形内角和大于1800,不存在PQ=PC。当Q在DC延长线上时,PCQ900,同理可知,不存在PQ=CQ。3. 如图1,ABC的边BC在直线l上,ACBC,且AC=BC; EFP的边FP也在直线l上,边EF与边AC重合,且EF=FP.(1) 在图1中,请你通过观察、测量,猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系;(2) 将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时,EP交AC于点Q,连接AP,BQ。猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系,请证明你的猜想;(3) 将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时,EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ。你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由。解析:(1)观察度量得:AB=AP, ABAP.(2) 由BC=AC,BCQ=ACQ,CQ=CP得BCQACQ,BQ=AP,BQC=APC.由QBC+BQC=900,可得QBC+APC=900,BQAP.(3) 成立。理由如下:由450角直角三角形,可得PC=CQ,AC=BC,ACP=BCQ,BCQACP,BQ=AP,QB

      4、C=PAC, 与(2)同理可得出BQAP。4. 已知:三角形ABC中,A=900,AB=AC,D为BC的中点,(1) 如图,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,求证:DEF为等腰直角三角形。(2) 若E,F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,DEF是否仍然为等腰角三角形?证明你的结论。解析:(1)连接AD,则有AD=BD,EBD=FAD=450,BE=AF,DAFDBE,DE=DF,EDB=FDA, EDB+ADE=900,EDF=FDA+ADE=900,即DEF为等腰直角三角形。(2)连接AD,CAD=ABD=450,FAD=EBD,又AD=BD,AF=BE,DAFDBE,DE=DF,EDB=FDA,FDB+ADF=900,EDF=EDB+FDB=900,即DEF为等腰直角三角形。5.已知:ABC中,以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE,M为CD中点,N为CD中点,这为AB 中点。(1)如图1,当ACB=1200时,MPN的度数为_;(2)如图2,当ACB=(001800)时,MPN的度数是否变化?给出你的证明。解析:(1)分别取

      5、AC、BC的中点G、H,连接GM、GP、BP、NH,则有GP=CH=HN,PH=CG=CM,又四边形CGPH是平行四边形,CGP=PHC, MGP=PHN, PMGNPH. PNH=MPG.又PHB=ACB=PNH+NPH+ABH,PNH+NPH=1200-600=600,HPG=GCH=1200,MPN=1200-(MPG+NPH)=600.(2) 与(1)同理可得PNH+NPH=-600,MPN=-(MPG+NPH)=-(-600)=600.5. (1)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,B=D=900,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=BAD。求证:EF=BE+FD;(2)如图在四边形ABCD中,AB=AD, B+D=1800,E、F分别是边BC、CD上的点,且EAF=BAD,(1)中的结论是否仍然成立?不用证明。(3)如图在四边形ABCD中,AB=AD,B+ADC=1800,E、F分别是边BC、CD延长线上的点,且EAF=BAD,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明。解析:(1)在CD的延长线上截取DH=BE,连接AH

      6、,由SAS可证得ABEADH,BAE=DAH,AE=AH.又EAF=BAD知DAF+BAE=BAD,FAH=FAE,由SAS可得AFEAFH,EF=FH=FD+DH,即:EF=BE+DF.(2)在CD的延长线上截取DH=BE,连接AH,由B+D=1800可得ADH=ABE,其他的与(1)证法相同,结论也相同。(3)在CD的延长线上截取DH=BE,连接AH,与(1)同理可证得ABEADH,AH=AE,HAD=EAB,DAF=BAE+BAD-BAD=BAE-BADHAF=HAD-DAF=BAE-(BAE-BAD)=BAD,HAF=EAF,又知AE=AH,AF=AF,HAFEAF,EF=FH=DH-DF,即:EF=BE-DF.6.已知:在四边形ABCD中,ADBC,BAC=D,点E、F分别在BC、CD上,且AEF=ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。(1)如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系为_; (2)如图2,若AB=BC,你在(1)中得到的结论否发生变化?写出你的猜想,并加以证明;(3)如图3,若AB=kBC,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想,并加以

      7、证明。解析 :(1)连接AF,由ADBC,得ACB=DAC,又BAC=D,ABCDCA,ABC=ACD=AEF,又由A、E、C 、F四点共圆,可得AFE=ACB,ABCAEF,=1,AE=EF(3) 与(1)同理可证。(3)与(2)同理可得=k。6. 在ABC中,点D在AC上,点E在BC上,且DEAB,将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE(使BCE1800),连接AD、BE,设直线BE与AC交于点O。(1) 如图,当AC=BC时,AD:BE的值为_;(2) 如图,当AC=5,BC=4时,求AD:BE的值;(3) 在(2)的条件下,若ACB=600,且E为BC的中点,求OAB面积的最小值。解析:(1)由DEAB,AC=BC可推出CD=CE,CE=CD且BCE=ACD,BCEACD,AD=BE即AD:BE=1.(2)由DEAB得=,又将CDE绕点C按顺时针方向旋转得到CDE,CE=CE,CD=CD,=且BCE=ACD,BCEACD,AD:BE=AC:BC=5:4.(3)过点A、O分别作AGBC,OFBC,垂足为G,F。当OC最大时,OF才最大,即点E与O重合时,三角形BOC面积最大,此

      8、时,三角形ABO面积最小。解直角三角形得:OF =,AG=,ABO最小面积=ABC的面积 -BOC的面积=4(-)=3.7. 已知:在RtABC中,AB=BC,在RtADE中,AD=DE,连结EC,取EC的中点M,连结DM和BM。(1) 若点D在边AC上,点E在边AB上且与点B不重合,如图,探索BM、DM的关系并给予证明;(2) 如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于450的角,如图,那么(1)中的结论是否仍然成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明。解析:(1)在RtABC和RtADE中,由EC的中点M,可得BM=EC,DM=EC,BM=DM.又BME=2BCE, EMD=2ECD,BMD=2BCA=900. BMDM.(2) 过点C作CGDE,交DM延长线于G,过点E,作ENBC,交DM于N,连接BD,BG。则由SAS可证ADMCGM,同理可证ENMCFM,GC=AD,DEM=GCM,NEM=FCM.DEH=GCF.又EHA=ABC=EDA=900,NED=BAD=BCG.根据SAS可得ADBCGB,BD=BG,又DM=MG,BM=DG=DM,BMDM.8. 已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧。(1) 如图,当APB=450时,求AB及PD的长;(2) 当APB变化,且其它条件不变时,求PD最大值。解析 :(1)过D点作DEPA,交PA延长线于点E,过点B作BFPA交PA于F,过A作AGPA,垂足为G。由APB=450,PA=,可得PG=AG=1,BG=3,运用勾股定理 可得AB=。由SAS可证得DEAAFB,BF=AE,AF=DE.又由PB=4,可得BF=2,DE=AF=,故PE=3,解得PD=2.(3) 将PAD绕点A顺时针旋转900,得PAB,则有PB=PD,当PB最大时,PD就最大。由勾股定理

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