北师大版数学八年级下册第一章第四节角平分线专题【含答案】

北师大版数学八年级下册第一章第四节角平分线专题探究点一：角平分线的性质定理【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等 如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BDDF.求证：(1)CFEB；(2)ABAF2EB.【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用 如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A6 B5 C4 D3【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图所示，D是ABC外角ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.探究点二：角平分线的判定定理【类型一】 角平分线的判定 如图，BECF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC，求证：AD是BAC的平分线【类型二】 角平分线的性质和判定的综合 如图所示，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，AD平分EDF；AEAF；AD上的点到B、C两点的距离相等；到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等其中正确的结论有()A1个 B2个 C3个 D4个【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题 如图，ABC的ABC和ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是BAC的平分线【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系探究点三：三角形角平分线的性质及应用【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数 在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A70，则BOC的度数为()A110B125C130D140【类型二】 三角形内外角平分线的应用 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？北师大版数学八年级下册第一章第四节角平分线专题探究点一：角平分线的性质定理【类型一】 应用角平分线的性质定理证明线段相等 如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BDDF.求证：(1)CFEB；(2)ABAF2EB.解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即CDDE.再根据RtCDFRtEBD，得CFEB；(2)利用角平分线的性质证明ADC和ADE全等得到ACAE，然后通过线段之间的相互转化进行证明证明：(1)AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，DEDC.在RtDCF和RtDEB中，RtCDFRtEBD(HL)CFEB；(2)AD是BAC的平分线，DEAB，DCAC，CDDE.在ADC与ADE中，ADCADE(HL)，ACAE，ABAEBEACEBAFCFEBAF2EB.方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在应用时一定要注意是两条“垂线段”相等【类型二】 角平分线的性质定理与三角形面积的综合运用 如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，SABC7，DE2，AB4，则AC的长是()A6 B5 C4 D3解析：过点D作DFAC于F，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFDE2，SABC42AC27，解得AC3.故选D.方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法【类型三】 角平分线的性质定理与全等三角形的综合运用 如图所示，D是ABC外角ACG的平分线上的一点DEAC，DFCG，垂足分别为E，F.求证：CECF.解析：由角平分线上的性质可得DEDF，再利用“HL”证明RtCDE和RtCDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可证明：CD是ACG的平分线，DEAC，DFCG，DEDF.在RtCDE和RtCDF中，RtCDERtCDF(HL)，CECF.方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件探究点二：角平分线的判定定理【类型一】 角平分线的判定 如图，BECF，DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，且DBDC，求证：AD是BAC的平分线解析：先判定RtBDE和RtCDF全等，得出DEDF，再由角平分线的判定可知AD是BAC的平分线证明：DEAB的延长线于点E，DFAC于点F，BEDCFD，BDE与CDF是直角三角形在RtBDE和RtCDF中，RtBDERtCDF(HL)，DEDF.DEAB，DFAC，AD是BAC的平分线方法总结：证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上【类型二】 角平分线的性质和判定的综合 如图所示，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F.下面给出四个结论，AD平分EDF；AEAF；AD上的点到B、C两点的距离相等；到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等其中正确的结论有()A1个 B2个 C3个 D4个解析：由AD平分BAC，DEAB，DFAC可得DEDF，由此易得ADEADF，故ADEADF，即AD平分EDF正确；AEAF正确；中垂线上的点到两端点的距离相等，故正确；到AE、AF距离相等的点，在BAC的角平分线AD上，到DE、DF的距离相等的点在EDF的平分线DA上，两者同一条直线上，所以到DE、DF的距离也相等正确，故正确；都正确故选D.方法总结：运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等【类型三】 添加辅助线解决角平分线的问题 如图，ABC的ABC和ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是BAC的平分线解析：分别过点D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G，然后利用角平分线上的点到角两边的距离相等可知DEDG，再利用到角两边距离相等的点在角平分线上来证明证明：分别过D作DE、DF、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为E、F、G.BD平分CBE，DEBE，DFBC，DEDF.同理DGDF，DEDG，点D在BAC的平分线上，AD是BAC的平分线方法总结：在遇到角平分线的问题时，往往过角平分线上的一点作角两边的垂线段，利用角平分线的判定或性质解决问题【类型四】 线段垂直平分线与角平分线的综合运用 如图，在四边形ADBC中，AB与CD互相垂直平分，垂足为点O.(1)找出图中相等的线段；(2)OE，OF分别是点O到CAD两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可证明AOCAOD，可得AO平分DAC，根据角平分线的性质可得OEOF.解：(1)AB、CD互相垂直平分，OCOD，AOOB，且ACBCADBD；(2)OEOF，理由如下：在AOC和AOD中，AOCAOD(SSS)，CAODAO.又OEAC，OFAD，OEOF.方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键探究点三：三角形角平分线的性质及应用【类型一】 利用角平分线的判定求角的度数 在ABC中，点O是ABC内一点，且点O到ABC三边的距离相等若A70，则BOC的度数为()A110B125C130D140解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点AO，BO，CO都是角平分线，所以有CBOABOABC，BCOACOACB，ABCACB18070110，OBCOCB55，BOC18055125，故选B.方法总结：由已知，O到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出BOC的度数【类型二】 三角形内外角平分线的应用 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问：(1)可选择的地点有几处？(2)你能画出塔台的位置吗？解析：(1)根据角平分线的性质得出符合条件的点有4处；(2)作出相交组成的角平分线，平分线的交点就是所求的点解：(1)可选择的地点有4处，如图：P1、P2、P3、P4，共4处；(2)能如图，根据角平分线性质作三直线相交的角平分线，平分线的交点就是所求的点方法总结：三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，反过来，到三角形三边距离相等的点，即为三角形内角平分线或两外角平分线的交点，这一结论在以后的学习中会经常遇到7