2020年高考数学（理）总复习：三角函数图象与性质三角恒等变换（解析版）

2020年高考数学（理）总复习：三角函数图象与性质三角恒等变换题型一函数yAsin(x)的解析式与图象【题型要点解析】解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数yAsin(x)(A>0，>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向【例1】函数f(x)Asin(x)b的部分图象如图，则Sf(1)f(2017)等于()A0B.C. D.【解析】由题设中提供的图象信息可知解得A，b1，T4，所以f(x)sin1，又f(0)sin1sin11sin0，可得k，所以f(x)sin1，由于周期T4，201750441，且f(1)f(2)f(3)f(4)4，所以Sf(1)f(2016)f(2017)2016f(2017)2016f(1)2016，故选C.【答案】C【例2】已知函数f(x)sin2x(>0)的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a>1)，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为()A. B. C. D.【解析】f(x)cos 2x，解得2，从而f(x)cos 4x.函数f(x)向右平移a个单位后，得到新函数为g(x)cos(4x4a)cos 4a0,4ak，kZ，当k0时，a的最小值为.选D.【答案】D题组训练一 函数yAsin(x)的解析式与图象1已知函数f(x)Asin(x)(A>0，>0,0<<)的部分图象如图所示，且f()1，则cos等于()A.BC. D【解析】由题图可知A3，易知2，即f(x)3sin.因为f()3sin1，所以sin，因为，所以2，所以cos，故选D.【答案】D2已知曲线C1：ycos x，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【解析】因为C1，C2函数名不同，所以将C2利用诱导公式转化成与C1相同的函数名，则C2：ysincoscos，则由C1上各点的横坐标缩短到原来的倍变为ycos 2x，再将曲线向左平移个单位得到C2，故选D.【答案】D3设函数ysinx(>0)的最小正周期是T，将其图象向左平移T后，得到的图象如图所示，则函数ysinx(>0)的单调递增区间是()A.B.C.D.【解析】方法一由已知图象知，ysinx(>0)的最小正周期是2，所以，解得，所以ysinx.由2kx2k得到单调递增区间是方法二因为T，所以将ysinx(>0)的图象向左平移T后，所对应的解析式为ysin.由图象知，所以，所以ysinx.由2kx2k得到单调递增区间是(kZ)【答案】A题型二三角函数的性质【题型要点】(1)奇偶性的三个规律：函数yAsin(x)是奇函数k(kZ)，是偶函数k(kZ)；函数yAcos(x)是奇函数k(kZ)，是偶函数k(kZ)；函数yAtan(x)是奇函数k(kZ)(2)对称性的三个规律函数yAsin(x)的图象的对称轴由xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由xk(kZ)解得；函数yAcos(x)的图象的对称轴由xk(kZ)解得，对称中心的横坐标由xk(kZ)解得；函数yAtan(x)的图象的对称中心的横坐标由x(kZ)解得(3)三角函数单调性：求形如yAsin(x)(或yAcos(x)(A、为常数，A0，>0)的单调区间的一段思路是令xz，则yAsin z(或yAcos z)，然后由复合函数的单调性求得(4)三角函数周期性：函数yAsin(x)(或yAcos(x)的最小正周期T.应特别注意y|Asin(x)|的周期为T.【例3】设函数f(x)sinxcosxcos2x(>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为.(1)求的值；(2)若函数yf(x)(0<<)是奇函数，求函数g(x)cos(2x)在0,2上的单调递减区间【解】(1)f(x)sinxcosxcos2xsin2xsin2xcos2xsin，设T为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为，得2f(x)max224，f(x)max1，424，整理得T2.又>0，T2，.(2)由(1)可知f(x)sin，f(x)sin.yf(x)是奇函数，则sin0，又0<<，g(x)cos(2x)cos.令2k2x2k，kZ，则kxk，kZ，单调递减区间是kZ.又x0,2，当k0时，递减区间是；当k1时，递减区间是函数g(x)在0,2上的单调递减区间是，.【例4】已知函数f(x)sin(x)(>0)的最小正周期为4，则()A函数f(x)的图象关于原点对称B函数f(x)的图象关于直线x对称C函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称D函数f(x)在区间(0，)上单调递增【解析】4，所以f(x)sin不是奇函数，图象不关于原点对称；x时f(x)不是最值，图象不关于直线x对称； 所有点向右平移个单位长度后得ysinsinx为奇函数，图象关于原点对称；因为x(0，)x，所以函数f(x)在区间(0，)上有增有减，综上选C.【答案】C【例5】已知函数f(x)2sin(x)(>0)，x的图象如图所示，若f(x1)f(x2)，且x1x2，则f(x1x2)等于()A1 B.C. D2【解析】根据函数f(x)2sin(x)，x，的图象知，T，2；又x时，20，解得，f(x)2sin；又f(x1)f(x2)，且x1x2，不妨令x10，则x2，x1x2，f(x1x2)2sin1.故选A.【答案】A题组训练二 三角函数的性质1如图是函数yAsin(x)图象的一部分为了得到这个函数的图象，只要将ysinx(xR)的图象上所有的点()A向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变B向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解析】观察图象知，A1，T2，2，即ysin(2x)；将点代入得0，结合|，得，所以ysin.故选A.【答案】A2已知函数f(x)cos2sin x(0)，xR，若f(x)在区间(，2)内没有零点，则的取值范围是()A.B.C.D.【解析】函数f(x)cos2sin xcos xsin xsin，可得T，02，f(x)在区间(，2)内没有零点，函数的图象如图两种类型，结合三角函数可得：或，解得.故选B.【答案】B题型三三角恒等变换【题型要点解析】三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等；(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦【例6】如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，AOC.若|BC|1，则cos2sincos的值为_【解析】由题意得|OC|OB|BC|1，从而OBC为等边三角形，所以sinAOBsin，又因为cos2sincossincossin.【答案】【例7】已知sin，则cos等于()AB.C D.【解析】sin，则coscossin，故选A.【答案】A【例8】已知cos ，cos()，且0<<<，那么等于()A. B.C. D.【解析】cos cos()cos cos()sin sin()，由已知cos ，cos()，0<<<，可知sin ，sin() ，代入上式得cos ，所以，故选C. 【答案】C题组训练三 三角恒等变换1若sin 3sin0，则cos 2的值为( )AB.CD.【解析】由sin 3sin0，则sin 3cos 0，可得：tan 3；则cos 2cos2sin2.故选C.【答案】C2已知cos，则cossin2的值为()A B.C. D【解析】cossin2cossin212cos21cos223cos2.【答案】C3已知coscos，.则sin 2_.【解析】coscoscossinsin，即sin.，2，cos，sin 2sinsincoscossin.【答案】题型四三角函数性质的综合应用【题型要点】研究三角函数的性质的两个步骤第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函