《函数的单调性与导数》

知识回顾 判断函数单调性有哪些方法 比如 判断函数的单调性 图象法 减 增 如图 函数的单调性与导数 目标引领 1 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理 2 掌握利用导数判断函数单调性的方法教学重点 利用导数判断函数单调性 在 0 和 0 上分别是减函数 但在定义域上不是减函数 在 1 上是减函数 在 1 上是增函数 在 上是增函数 画出下列函数的图像 并根据图像指出每个函数的单调区间 观察下列图象的单调区间 并求单调区间相应的导数 分析函数在每个单调区间上的单调性与导数的关系 自学探究 图象是单调 的 分析函数在每个单调区间上的单调性与导数的关系 上升 1 0 分析函数在每个单调区间上的单调性与导数的关系 图象是单调上升的 分析函数在每个单调区间上的单调性与导数的关系 分析函数在每个单调区间上的单调性与导数的关系 y 1 在x 1的左边函数图像的单调性如何 合作解疑 2 在x 1的左边函数图像上的各点切线的倾斜角为 锐角 钝角 他的斜率有什么特征 3 由导数的几何意义 你可以得到什么结论 4 在x 1的右边时 同时回答上述问题 函数的图像如图 函数的单调性与其导函数正负的关系 当函数y f x 在某个区间内可导时 如果 则f x 为增函数 如果 则f x 为减函数 例1 已知导函数的下列信息 当14 或x 1时 当x 4 或x 1时 试画出函数f x 图象的大致形状 4 1 解 由题意可知 其图象的大致形状如图 例2 判断下列函数的单调性 并求出单调区间 1 f x x3 3x 解 3x2 3 3 x2 1 0 从而函数f x x3 3x在x R上单调递增 见右图 2 f x x2 2x 3 解 2x 2 2 x 1 图象见右图 当 0 即x 1时 函数单调递增 当 0 即x 1时 函数单调递减 3 f x sinx x x 0 p 解 cosx 1 0 从而函数f x sinx x在x 0 单调递减 见右图 4 f x 2x3 3x2 24x 1 解 6x2 6x 24 6 x2 x 4 0 当 0 即时 函数单调递增 图象见右图 当 0 即时 函数单调递减 1 函数f x 2x sinx在 上 A 是增函数B 是减函数C 在 0 上增 在 0 上增D 在 0 上减 在 0 上增 答案 A 解析 f x 2 cosx 0在 上恒成立 练习 2 函数y xlnx在区间 0 1 上是 A 单调增函数B 单调减函数 答案 C 求函数的单调区间的一般步骤 步骤 1 求函数的定义域 2 求函数的导数 3 令f x 0以及f x 0 求自变量x的取值范围 即函数的单调区间 例3 如图 水以常速 即单位时间内注入水的体积相同 注入下面四种底面积相同的容器中 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象 练习4如图 直线l和圆c 当l从l0开始在平面上绕点O匀速旋转 旋转角度不超过90o 时 它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数 它的图象大致是 D A B C D C 高 考 试 尝 设是函数的导函数 的图象如右图所示 则的图象最有可能的是 求函数的单调区间的一般步骤 小结 函数的单调性与其导函数正负的关系 作业布置 演草 课本P98A1 2 导学 P71页A组 再见