人教A版高中数学必修四全册教学课件

1 1 1任意角 角的第一种定义 从一个点出发引出的两条射线组成的图形叫做角 静态定义 角的定义 复习引入 A B O A B O 角的第二种定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 动态定义 讲授新课 角的名称 讲授新课 始边 终边 顶点 A B O 角的分类 正角 按逆时针方向旋转形成的角 零角 射线没有任何旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 讲授新课 任意角 角的概念经过推广后 已包括正角 负角和零角 在不引起混淆的情况下 角 或 可以简化成 零角的终边与始边重合 如果 是零角 0 注意 例1 求作下列角 始边在水平位置 30022503900 3300 定义 若将角顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么角的终边落在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 2 象限角的概念 若角的终边落在坐标轴上 我们就说这个角不属于任何象限 讲授新课 问题1 例1中我们所作的角30022503900 3300分别是第几象限角 问题2 锐角是第几象限角 第一象限角都是锐角吗 钝角如何 探究 终边相同的角的表示 1 由例1可知 3003900 3300这三个角的终边有何关系 2 与300终边相同的角还有哪些 请再举几个 它们的终边有何关系 3 与300终边相同的角的集合怎么表示 终边相同 7500 11100终边都相同 终边相同的角的表示 探究 所有与 终边相同的角 连同 在内 可构成一个集合S k 360 k Z 即任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角的和 是任一角 相等的角终边一定相同 但终边相同的角不一定相等 终边相同的角有无限个 它们相差360 的整数倍 注明k Z 注意 思考 终边相同的角一定相等吗 相等的角终边一定相同吗 例2 在0 360 范围内 找出与下列各角终边相同的角 并判断它们是第几象限角 950 12 1265 例3 写出终边在y轴上的角的集合 例4 终边在直线y x上的角的集合S 并把S中适合的元素写出来 课堂小结 2 角的分类 正角 零角 负角 1 角的定义 3 象限角 4 终边相同的角的表示法 思考题 已知 角是第三象限角 则2 各是第几象限角 1 1 2弧度制 复习 1 角的概念的推广 2 象限角 3 终边相同的角 将角的顶点与原点重合 角的始边与x轴正半轴重合 那么角的终边在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合 引入 1 在平面几何里 度量角的大小用什么单位 2 1度的角是如何规定的 周角的1 360为1 的角 度 3 我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 新课 1 1弧度角的规定 我们把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角 2 弧度制 这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制 它的单位是弧度 单位符号是rad 注 弧度 不是弧长 它是一个比值 与半径大小无关 值有正负 正实数 零 负实数 对应角的弧度数 理解概念 当AB弧的长度为2r 3r时 AOB为多少弧度 一个周角的弧度数是多少 半个圆弧所对的圆心角的弧度数是多少 1 2 3 扇形的弧长 半径和圆心角之间的关系 注 的正负由角的终边的旋转方向决定 1 把角度换成弧度 2 把弧度换成角度 弧度与角度的换算 例题 例1按照下列要求把 1 67 30 化成弧度 注 今后我们用弧度制表示角的时候 弧度 二字或者 rad 通常省略不写 而只写这个角所对应的弧度数 但如果以度 为单位表示角时 度 不能省略 一些特殊角的弧度数 例3利用弧度制证明下列关于扇形面积的公式 基本关系 导出关系 小结 1 2 1任意角的三角函数 在初中我们是如何定义锐角三角函数的 复习回顾 条件 在直角三角形中 为了讨论问题的方便 我们今后都在直角坐标系中讨论角 那么你能用坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗 已经角 是一个锐角 为了方便计算 这里引进1个单位圆 圆心为原点 半径为1 角 的终边与单位圆交于P a b P a b M b a 已经角 是一个锐角 为了方便计算 这里引进1个单位圆 圆心为原点 半径为1 角 的终边与单位圆交与P a b P a b M b a 锐角 的三角函数可以用终边与单位圆的交点坐标来表示 如果角 是任意的角 它的三角函数也可以用终边与单位圆交点的坐标来表示 设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点P x y y叫 的正弦 x叫 的余弦 叫 的正切 我们把正弦 余弦 正切 都看成是以角为自变量 以比值为函数值的函数 以上三种函数统称三角函数 x 0 解 在直角坐标系中 作 B A o y x 例1 求的正弦 余弦和正切值 则 AOB的终边与单位圆的交点坐标为 练习1 利用三角函数的定义求的三个三角函数值 课本P15第1题 解 在直角坐标系中 作 则 AOB的终边与单位圆的交点坐标为 B 探究 如果知道角终边上一点 而这个点不是终边与单位圆的交点 该如何求它的三角函数值呢 三角函数的值与点P x y 在终边上的位置无关 仅与角 的大小有关 点P到原点O的距离 o y x 解 x 3 y 4 O y x 例2 已知角 的终边经过点P0 3 4 求角 的正弦 余弦和正切值 练习2 已知角 的终边过点P 12 5 则 练习3 已知角 的终边上有一点P 4a 3a a 0 则2sin cos 的值是 C 探究1 三角函数的定义域 R R 探究2 根据三角函数的定义 研究三角函数值在各个象限的符号 一全正 二正弦 三正切 四余弦 例3 求证 当且仅当下列不等式组成立时 角 为第三角限角 证明 如果 式都成立 那么 为第三象限角 因为 式都成立 所以 角的终边只能位于第三象限 于是 为第三象限角 又若tan 0 那么 角的终边可能位于第一或第三象限 若sin 0 那么 角的终边可能位于第三或第四象限 也可能位于y轴的非正半轴上 公式作用 可以把求任意角的三角函数值 转化为求0到2 或0 至360 角的三角函数值 终边相同的角的同一三角函数值相等 公式一 例4 确定下列三角函数值的符号 1 因为250o是第三象限角 所以cos250o 0 2 因为是第四象限角 所以 3 因为tan 627o tan 48o 2 360o tan48o 48o是第一象限的角 所以tan 627o 0 例5 求下列三角函数值 下面从图形角度认识一下三角函数 角 的终边与单位圆交于点P 过点P作x轴的垂线 垂足为M MP y sin OM x cos 三角函数线 思考 为了去掉上述等式中的绝对值符号 能否给线段OM MP规定一个适当的方向 使它们的取值与点P的坐标一致 MP y sin OM x cos MP y sin OM x cos 当角 的终边不在坐标轴上时 以M为始点 P为终点 规定 当线段MP与y轴同向时 MP的方向为正向 且有正值y 当线段MP与y轴反向时MP的方向为负向 且有负值y MP y sin 有向线段MP叫角 的正弦线 MP y sin OM x cos 当角 的终边不在坐标轴上时 以O为始点 M为终点 规定 当线段OM与x轴同向时 OM的方向为正向 且有正值x 当线段OM与x轴反向时 OM的方向为负向 且有负值x OM x cos 有向线段OM叫角 的余弦线 你能借助单位圆 找到一条如OM MP一样的线段来表示角 的正切吗 思考 过点A 1 0 作单位圆的切线 设它与 的终边或其反向延长线相交于点T 有向线段AT叫角 的正切线 这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 分别叫做角 的正弦线 余弦线 正切线 统称为三角函数线 当角 的终边与x轴重合时 正弦线 正切线 分别变成一个点 此时角 的正弦值和正切值都为0 当角 的终边与y轴重合时 余弦线变成一个点 正切线不存在 此时角 的正切值不存在 的终边 T P M P M A T A 1 2 2同角三角函数的基本关系 一 问题导学 角的终边 M 同角三角函数的基本关系 平方关系 商数关系 同一个角的正弦 余弦的平方和等于1 商等于角的正切 二 探讨新知 从而 解 因为 所以是第三或第四象限角 由得 如果是第三象限角 那么 如果是第四象限角 那么 三 应用示例 分类讨论 符号看象限 三 应用示例 三 应用示例 齐次分式弦化切 齐次分式弦化切 齐次分式弦化切 三角函数的诱导公式 温故而知新 1 任意角的三角函数的定义 2 诱导公式一 作用 可以把任意角的三角函数值 转化为求0到2角的三角函数值 练习 求下列三角函数值 x y o 的终边 的终边 P x y Q x y 知识探究 一 角 的终边与角 的终边有什么关系 它们的三角函数值之间有什么关系 知识探究 二 对于任意给定的一个角 的终边与 的终边有什么关系 那么它们之间的三角函数值有什么关系 y 的终边 x o P x y Q x y 你能推导出角 与角 之间的三角函数值吗 p x y y 的终边 x o Q x y 知识探究 三 公式四 公式一 的三角函数值 等于的同名函数值 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号 函数名不变 符号看象限 例题1 求下列三角函数值 例题2化简求值 1 2 练习二 化简 1 2 利用诱导公式一 四 可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数 一般可按下面步骤进行 这是一种化归与转化的数学思想 用公式一 或公式三 用公式一 用公式二 或公式四 问题1 若 为一个任意给定的角 那么的终边与角 的终边有什么对称关系 知识探究 的诱导公式 知识探究 的诱导公式 问题2 根据三角函数的定义 你能获得哪些结论 的终边 P1 x y O x y 的终边 P2 y x 知识探究 的诱导公式 问题3 与有什么内在联系 问题4 根据相关诱导公式推导 分别等于什么 的正弦 余弦 函数值 分别等于的余弦 正弦 函数值 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号 函数名改变 符号看象限 例3 例4 化简 1 4 3正切函数的性质与图象 1 利用正切函数的定义 说出正切函数的定义域 是周期函数 是它的一个周期 思考 由诱导公式二知 2 正切函数是否为周期函数 3 正切函数是否具有奇偶性 由诱导公式三知 正切函数是奇函数 你能否根据研究正弦 余弦函数的图象和性质的经验以同样的方法研究正切函数的图象和性质 探究 作法 1 等分 2 作正弦线 3 平移 4 连线 问题如何利用正切线画出函数 的图象 作法 1 等分 2 作正切线 3 平移 4 连线 把单位圆右半圆分成8等份 利用正切线画出函数 的图象 正切曲线的简图的画法 三点两线法 请看在 2 2 三点两线在图中的位置 y x 1 1 2 2 3 2 3 2 0 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 R T 奇函数 函数 y tanx 增区间 性质 t t t 你能从正切函数的图象出发 讨论它的性质吗 正切函数是整个定义域上的增函数吗 为什么 在每一个开区间 内都是增函数 问题讨论 A是奇函数B在整个定义域上是增函数C在定义域内无最大值和最小值D平行于轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等 关于正切函数 下列判断不正确的是 基础练习 B 例6 求函数 例题分析 的定义域 周期和 单调区间 我收获我快乐 求函数的定义域 值域 并指出它的单调性 趁热打铁 答案 1 的作图是利用平移正切线得到的 当我们获得上图象后 再利用周期性把该段图象向左右延伸 平移 2 性质 奇函数 课堂小结 作业 课本46页第9题 47页第2题 相信2017年的夏天一定硕果累累 1 5函数的图象 在物理中 简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系 交流电的电流y与时间x的关系等都是形y Asin x 的函数 其中A 都是常数 下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 思考 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系 关键点 0 0 1 0 1 2 0 的图象 注意 五点是指使函数值为0及达到最大值和最小值的点 复习回顾 例1 试研究 与的图象关系 1 1 1 y