函数与基本初等函数
第 9 讲 函数模型及其应用基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、填空题1(2014·日照模拟 )下表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是_.x 4 5 6 7 8 9 10y 15 17 19 21 23 25 27一次函数模型；幂函数模型；指数函数模型；对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加 1 函数值增加 2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型答案2(2014·苏州模拟 )物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是_解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选.答案3某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1，y 2 分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析由题意得，y 1 ，y2k 2x，其中 x0，当 x10 时，代入两项费用k1xy1，y2 分 别是 2 万元和 8 万元，可得 k120，k 2 ，y1y 2 x2 45 20x 458，当且仅当 x，即 x5 时取等号20x·45x 20x 45答案54(2013·安徽名校联考 )如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于 x 轴，四边形ABCD 是边长为 1 的正方形，记四边形位于直线 xt (t0)左侧图形的面积为 f(t)，则 f(t)的大致图象是 _解析由题意得，f(t) Error!故其图象为.答案5(2014·南京一模 )某企业投入 100 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为_解析设该企业需要更新设备的年数为 x，设备年平均 费用为 y，则 x 年后的设备维护费用为 242xx (x1)，所以 x 年的平均费用为 yx 1.5，由基本不等式得 yx 1.52 100 0.5x xx 1x 100x 100x1.5 21.5，当且仅当 x ，即 x10 时取等号x·100x 100x答案106(2013·陕西卷 )在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园( 阴影部分) ，则其边长 x 为_(m)解析设内接矩形另一边长为 y，则由相似三角形性 质可得 ，解得x40 40 y40y40x，所以面积 Sx(40 x)x 240x(x 20) 2400(0x 40)，当 x20 时，S max400.答案207(2013·北京朝阳二模 )一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(xN *)件当 x 20 时，年销售总收入为(33xx 2)万元；当 x20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元，则 y(万元)与x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入年总投资)解析当 x 20 时，y(33x x 2)x100x 232x 100；当 x20 时，y260100 x 160x.故 yError!(x N*)当 0x20 时，yx 2 32x100(x16) 2156，x16 时， ymax156.而当 x20 时 ，160x140，故 x16 时取得最大年利 润答案yError!(xN *)168有一批材料可以建成 200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为_(围墙厚度不计)解析本题是实际问题，建立函数关系即可设矩形场地的宽为 x m，则矩形场地的长为(2004x )m，面积 Sx(200 4x)4(x 25) 22 500.故当 x25时，S 取得最大值 2 500，即围成场地的最大面积为 2 500 m2.答案2 500 m 2二、解答题9(2014·昆明质检 )某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过 4 吨的每吨 2 元；超过4 吨而不超过 6 吨的，超出 4 吨的部分每吨 4 元；超过 6 吨的，超出 6 吨的部分每吨 6 元(1)写出每户每月用水量 x(吨)与支付费用 y(元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年 12 个月的月用水量(x N *)如下表：月用水量 x(吨) 3 4 5 6 7频数 1 3 3 3 2请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到 1 元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过 12 元的家庭称为“节约用水家庭” ，随机抽取了该地 100 户的月用水量作出如下统计表：月用水量 x(吨) 1 2 3 4 5 6 7频数 10 20 16 16 15 13 10据此估计该地“节约用水家庭”的比例解(1)y 关于 x 的函数关系式为 yError!(2)由(1)知：当 x3 时，y6；当 x4 时， y8；当 x5 时， y12；当 x6 时， y16；当 x7 时， y22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为(6×18×312×316×322×2)13(元) 112(3)由(1)和题意知：当 y12 时，x5，所以“节约用水家庭”的频率为77% ，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为 77%.7710010(2013·南京、盐城高三期末)近年来，某企业每年消耗电费约 24 万元，为了节能减排，决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积 x(单位：平方米) 成正比，比例系数约为 0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费 C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位：平方米)之间的函数关系是 C(x) (x0，k 为常数)记 F(x)为该企业安装这种太阳能供k20x 100电设备的费用与该企业 15 年共消耗的电费之和(1)试解释 C(0)的实际意义，并建立 F(x)关于 x 的函数关系式；(2)当 x 为多少平方米时，F(x)取得最小值？最小值是多少万元？解(1)C (0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的电费，即未安装太阳能供电设备时企业每年消耗的电费为C(0) 24，得 k2 400，所以 F(x)k10015× 0.5x 0.5x(x0)2 40020x 100 1 800x 5(2)因为 F(x) 0.5(x5) 2.51 800x 52 2.557.5，1 800×0.5当且仅当 0.5(x 5)，1 800x 5即 x55 时取等号，所以当 x 为 55 平方米时，F(x)取得最小值，最小值为57.5 万元能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、填空题1(2014·江门质检 )我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税已知某种酒每瓶售价为 70 元，不收附加税时，每年大约销售100 万瓶；若每销售 100 元国家要征附加税 x 元(叫做税率 x%)，则每年销售量将减少 10x 万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112 万元，则 x 的最小值为 _解析由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为 104·(10010x)·70·，令 104·(10010x)·70· 112×10 4，解得 2 x8.故 x 的最小值为 2.x100 x100答案22某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了 n次涨停( 每次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停( 每次下跌 10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为_略有盈利；略有亏损；没有盈利也没有亏损；无法判断盈亏情况解析设该股民购这只股票的价格为 a，则经历 n 次涨停后的价格为 a(110%)na×1.1 n，经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(110%)na×1.1 n×0.9na×(1.1×0.9) n0.99 n·aa，故该股民这只股票略有亏损答案3将一个长宽分别是 a，b(01，故 的取值范围是 .2a b9 b2 ab54 ab ab (1，54)答案 (1，54)二、解答题4(2014·孝感统考 )某公司生产一种产品，每年需投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这样的产品，还需增加投入 0.25 万元，经市场调查知这种产品年需求量为 500 件，产品销售数量为 t 件时，销售所得的收入为万元(0.05t 120 000t2)(1)该公司这种产品的年生产量为 x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量 x 的函数为 f(x)，求 f(x)；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？解(1)当 0500 时，f(x)0.05×500 ×5002120 00012 x，(0.25×x100 0.5) 1400故 f(x)Error!(2)当 0500 时，f(x)12 x<12 < .1400 54 34432 34532故当该公司的年产量为 475 件时，当年获得的利润最大
