空间几何体的表面积和体积(共张)ppt课件

1 3简单几何体的表面积和体积 1 3 1柱体 锥体 台体的表面积与体积 1 表面积 几何体表面的面积 2 体积 几何体所占空间的大小 表面积 全面积和侧面积 表面积 立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积 每个面的面积相加 全面积全面积是立体几何里的概念 相对于截面积 截面积 即切面的面积 来说的 就是表面积总和侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和 除去底面 棱柱 棱锥 棱台的侧面积 侧面积所指的对象分别如下 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 棱台 正棱台 2 几何体的表面积 1 棱柱 棱锥 棱台的表面积就是 2 圆柱 圆锥 圆台的侧面展开图分别是 它们的表面积等于 各面面积 之和 矩 形 扇形 扇环形 侧面积 与底面面积之和 回忆复习有关概念 1 直棱柱 2 正棱柱 3 正棱锥 4 正棱台 侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱 底面是正多边形 顶点在底面的射影是底面中心的棱锥 正棱锥被平行于底面的平面所截 截面和底面之间的部分叫正棱台 作直三棱柱 正三棱锥 正三棱台各一个 找出斜高 斜高的概念 2 分别作出一个圆柱 圆锥 圆台 并找出旋转轴 分别经过旋转轴作一个平面 观察得到的轴截面是什么形状的图形 矩形 等腰三角形 等腰梯形 直棱柱 设棱柱的高为h 底面多边形的周长为c 则S直棱柱侧 类比矩形的面积 圆柱 如果圆柱的底面半径为r 母线长为l 那么S圆柱侧 类比矩形的面积 ch 2 rl 知识点一 柱 锥 台 球的表面积与侧面积 1 柱体的侧面积 把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开 得到什么图形 侧面积怎么求 棱柱的侧面展开图是什么 如何计算它的表面积 h 正棱柱的侧面展开图 2 棱柱 棱锥 棱台的展开图及表面积求法 思考 把圆柱 圆锥 圆台的侧面分别沿着一条母线展开 分别得到什么图形 展开的图形与原图有什么关系 宽 长方形 圆柱的侧面展开图是矩形 3 圆柱 圆锥 圆台的展开图及表面积求法 圆柱 正棱锥 设正棱锥底面正多边形的周长为c 斜高为h 则S正棱锥侧 类比三角形的面积 圆锥 如果圆锥的底面半径为r 母线长为l 那么S圆锥侧 类比三角形的面积 1 2ch rl 2 锥体的侧面积 把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开 得到什么图形 侧面积怎么求 棱锥的侧面展开图是什么 如何计算它的表面积 正三棱锥的侧面展开图 棱锥的展开图 正五棱锥的侧面展开图 棱锥的展开图 思考 把圆柱 圆锥 圆台的侧面分别沿着一条母线展开 分别得到什么图形 展开的图形与原图有什么关系 扇形 圆锥的侧面展开图是扇形 圆锥 正棱台 设正n棱台的上底面 下底面周长分别为c c 斜高为h 则正n棱台的侧面积公式 S正棱台侧 圆台 如果圆台的上 下底面半径分别为r r 母线长为l 则S圆台侧 1 2 c c h l r r 3 台体的侧面积 注 表面积 侧面积 底面积 把正三棱台侧面沿一条侧棱展开 得到什么图形 侧面积怎么求 类比梯形的面积 正四棱台的侧面展开图 棱台的侧面展开图是什么 如何计算它的表面积 棱台的展开图 参照圆柱和圆锥的侧面展开图 试想象圆台的侧面展开图是什么 圆台的侧面展开图是扇环 圆台 思考 把圆柱 圆锥 圆台的侧面分别沿着一条母线展开 分别得到什么图形 展开的图形与原图有什么关系 扇环 侧 圆台侧面积公式的推导 圆柱 圆锥 圆台三者的表面积公式之间有什么关系 棱柱 棱锥 棱台都是由多个平面图形围成的几何体 棱柱 棱锥 棱台的表面积 它们的侧面展开图还是平面图形 计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和 例1 一个正三棱台的上 下底面边长分别是3cm和6cm 高是3 2cm 求三棱台的侧面积 分析 关键是求出斜高 注意图中的直角梯形 O1 O D D1 E 例3 圆台的上 下底面半径分别为2和4 高为 求其侧面展开图扇环所对的圆心角 分析 抓住相似三角形中的相似比是解题的关键 小结 1 抓住侧面展开图的形状 用好相应的计算公式 注意逆向用公式 2 圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题 注意相似比 答 1800 例 圆台的上 下底半径分别是10cm和20cm 它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800 那么圆台的侧面积是多少 结果中保留 小结 1 弄清楚柱 锥 台的侧面展开图的形状是关键 2 对应的面积公式 例1 一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形 侧棱长为4 则其侧面积为 答 60 例2 正四棱锥底面边长为6 高是4 中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台 求棱台的侧面积 例3已知棱长为a 各面均为等边三角形的四面体S ABC 求它的表面积 B C A S 分析 四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成 因为BC a 所以 因此 四面体S ABC的表面积 交BC于点D 解 先求的面积 过点S作 例4 2010年广东省惠州市高三调研 如图 已知正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长是2 D E是CC1 BC的中点 AE DE 1 求此正三棱柱的侧棱长 2 正三棱柱ABC A1B1C1的表面积 思路点拨 1 证明 AED为直角三角形 然后求侧棱长 2 分别求出侧面积与底面积 点评 求表面积应分别求各部分面的面积 所以应弄清图形的形状 利用相应的公式求面积 规则的图形可直接求 不规则的图形往往要再进行转化 常分割成几部分来求 思考 怎样求斜棱柱的侧面积 1 侧面展开图是 平行四边形2 S斜棱柱侧 直截面周长 侧棱长3 S侧 所有侧面面积之和 1 高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中 借以考查空间想象能力和运算能力 只要正确把握几何体的结构 准确应用面积公式 就可以顺利解决 几何体的表面积问题小结 2 多面体的表面积是各个面的面积之和 圆柱 圆锥 圆台的侧面是曲面 计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和 3 几何体的表面积应注意重合部分的处理 几何体占有空间部分的大小叫做它的体积 一 体积的概念与公理 公理1 长方体的体积等于它的长 宽 高的积 V长方体 abc 推论1 长方体的体积等于它的底面积s和高h的积 V长方体 sh 推论2 正方体的体积等于它的棱长a的立方 V正方体 a3 公理2 夹在两个平行平面间的两个几何体 被平行于这两个平面的任意平面所截 如果截得的两个截面的面积总相等 那么这两个几何体的体积相等 幂势既同 则积不容异 祖暅原理 定理1 柱体 棱柱 圆柱 的体积等于它的底面积s和高h的积 V柱体 sh 二 柱体的体积 三 锥体体积 例2 如图 三棱柱AD1C1 BDC 底面积为S 高为h 答 可分成棱锥A D1DC 棱锥A D1C1C 棱锥A BCD 问 1 从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥 3 1 锥体 棱锥 圆锥 的体积 底面积S 高h 注意 三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换 四面体的每一个面都可以作为底面 可以用来求点到面的距离 问题 锥体 棱锥 圆锥 的体积 定理 如果一个锥体 棱锥 圆锥 的底面积是 高是 那么它的体积是 推论 如果圆锥的底面半径是 高是 那么它的体积是 锥体 圆锥 h x 四 台体的体积 V台体 上下底面积分别是s s 高是h 则 推论 如果圆台的上 下底面半径是r1 r2 高是 那么它的体积是 圆台 h 五 柱体 锥体 台体的体积公式之间有什么关系 S为底面面积 h为柱体高 S分别为上 下底面面积 h为台体高 S为底面面积 h为锥体高 1 长方体的体积V长方体 abc 其中a b c为长 宽 高 S为底面积 h为高 2 柱体 圆柱和棱柱 的体积V柱体 Sh 其中 V圆柱 r2h 其中r为底面半径 Sh 知识点二 柱 锥 台 球的体积 3 锥体 圆锥和棱锥 的体积V锥体 Sh 其中V圆锥 r为底面半径 1 3 r2h 4 台体的体积公式V台 h S S 注 h为台体的高 S 和S分别为上下两个底面的面积 其中V圆台 注 h为台体的高 r r分别为上 下两底的半径 5 球的体积V球 1 3 h r2 rr r 2 1 3 R3 例从一个正方体中 如图那样截去4个三棱锥后 得到一个正三棱锥A BCD 求它的体积是正方体体积的几分之几 1 求空间几何体的体积除利用公式法外 还常用分割法 补体法 转化法等 它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法 几何体的体积小结 2 计算柱体 锥体 台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高 要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面 将空间问题转化为平面问题 R R 球的体积 一个半径和高都等于R的圆柱 挖去一个以上底面为底面 下底面圆心为顶点的圆锥后 所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等 探究 R R 第一步 分割 O 球面被分割成n个网格 表面积分别为 则球的表面积 则球的体积为 设 小锥体 的体积为 知识点三 球的表面积和体积 O 第二步 求近似和 O 由第一步得 第三步 转化为球的表面积 如果网格分的越细 则 由 得 设球的半径为R 则球的体积公式为V球 4 3 R3 例1 2009年高考上海卷 若球O1 O2表面积之比 4 则它们的半径之比 1 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 2 若球半径变为原来的2倍 则表面积变为原来的 倍 3 若两球表面积之比为1 2 则其体积之比是 4 若两球体积之比是1 2 则其表面积之比是 例2 例3 如图 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a 它的各个顶点都在球O的球面上 问球O的表面积 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 略解 变题1 如果球O和这个正方体的六个面都相切 则有S 变题2 如果球O和这个正方体的各条棱都相切 则有S 关键 找正方体的棱长a与球半径R之间的关系 例4已知过球面上三点A B C的截面到球心O的距离等于球半径的一半 且AB BC CA cm 求球的体积 表面积 解 如图 设球O半径为R 截面 O 的半径为r 例5 有三个球 一球切于正方体的各面 一球切于正方体的各侧棱 一球过正方体的各顶点 求这三个球的体积之比 作轴截面 规律方法总结 1 直棱柱的侧面展开图是一些矩形 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形 2 斜棱柱的侧面积等于它的直截面 垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面 的周长与侧棱长的乘积 3 如果直棱柱的底面周长是c 高是h 那么它的侧面积是S直棱柱侧 ch 4 应注意各个公式的推导过程 不要死记硬背公式本身 要熟悉柱体中的矩形 锥体中的直角三角形 台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用 规律方法总结 5 如果不是正棱柱 正棱锥 正棱台 在求其侧面积或全面积时 应对每一个侧面的面积分别求解后再相加 6 求球的体积和表面积的关键是求出球的半径 反之 若已知球的表面积或体积 那么就可以得出其半径的大小 7 计算组合体的体积时 首先要弄清楚它是由哪些基本几何体构成 然后再通过轴截面分析和解决问题 8 计算圆柱 圆锥 圆台的体积时 关键是根据条件找出相应的底面面积和高 应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面 将空间问题转化为平面问题求解 题型一几何体的展开与折叠有一根长为3 cm 底面半径为1cm的圆柱形铁管 用一段铁丝在铁管上缠绕2圈 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端 则铁丝的最短长度为多少 把圆柱沿这条母线展开 将问题转化为平面上两点间的最短距离 题型分类深度剖析 解把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开 在平面上得到矩形ABCD 如图所示 由题意知BC 3 cm AB 4 cm 点A与点C分别是铁丝的起 止位置 故线段AC的长度即为铁丝的最短长度 故铁丝的最短长度为5 cm 求立体图形表面上两点的最短距离问题 是立体几何中的一个重要题型 这类题目的特点是 立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上 为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系 必须将图中的某些平面旋转到同一平面上 或者将曲面展开为平面 使问题得到解决 其基本