人教版七年级下学期数学章节知识点精讲精析：二元一次方程组（原卷版）

人教版七年级下学期数学章节知识点精讲精析 二元一次方程组8.1 二元一次方程组3知识框架3一、基础知识点3知识点1 二元一次方程和二元一次方程组3知识点2 二元一次方程的解和二元一次方程组的解3二、典型题型5题型1 二元一次方程（组）的概念和判断5题型2 二元一次方程组的简单应用5三、难点题型6题型1 运用方程组的解的定义6题型2 方程组解的个数68.2 消元-解二元一次方程组7知识框架7一、基础知识点7知识点1 代入消元法7知识点2 加减消元法7二、典型题型9题型1 代入消元法和加减消元法比较9题型2 先化简系数再消元9题型3 整体消元法9一、整体代入消元法9二、整体加减消元法10三、整体换元法10三、难点题型11题型1 二元一次方程组同解11题型2 运用错解求正解11题型3 含绝对值的方程组11题型4 求二元一次不定方程的整数解118.3 实际问题与二元一次方程组13知识框架13一、基础知识点13知识点1 列方程组解应用题步骤13知识点2 分析数量关系的常用方法13二、典型题型15题型1 和、差、倍、分问题15题型2 工程问题15题型3 行程问题15题型4 配套问题15题型5 年龄问题15题型6 利润问题16题型7 方案问题16题型8 规律问题16题型9 图表问题16三、难点题型18题型1 分类讨论18题型2 设辅助元问题188.4 三元一次方程组的解法19知识框架19一、基础知识点19知识点1 三元一次方程组的概念19知识点2 解三元一次方程组的方法和步骤19知识点3 特殊方程组的解法19二、典型题型21题型1 解三元一次方程组21题型2 “元多组少”问题21题型3 三元一次方程组的应用21三、难点题型22题型1 利用方程组中未知数间关系22题型2 连比式228.1 二元一次方程组知识框架&基础知识点&二元一次方程和二元一次方程组&二元一次方程的解和二元一次方程组的解&典型题型&二元一次方程（组）的概念和判断&二元一次方程组的简单应用&难点题型&运用方程组的解的定义&方程组解的个数一、基础知识点知识点1 二元一次方程和二元一次方程组1）二元一次方程：含有两个未知数，且 所含未知数的次数项的次数都是1的方程。注：所有未知数项的次数必须是1 例：x-1y=0，不是 2x3xy=2，不是2）将几个相同未知数的一次方程联合起来，就组成了二元一次方程组。注：在方程组中，相同未知数必须代表同一未知量。二元一次方程组不一定都是二元一次方程组合而成，方程个数也不一定是两个。例：x=12x=y3y=6，是 2x-1=0x+y=1，是3）判断二元一次方程组的方法：方程组中是否一共有两个未知数含未知数的项的次数是否都是1是否含有多个方程组成例1.判断下列方程是否为二元一次方程 （1）3a+22b=12； （2）2x+y5=x2-9； （3）mn（2n+4）=1 （4）+x=6例2.判断下列方程组是否为二元一次方程组 （1）2x+3y=42x-3z=2； （2）xy+y=8y=2； （3）x=12x=y3y=6； （4）x+1=1xy=2知识点2 二元一次方程的解和二元一次方程组的解1）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值（有序数对）例：x+y=10 （1，9），（2，8），（3，7）等2）二元一次方程组的两个方程公共解叫作二元一次方程组的解。例：x+y=52x+y=7的解为：x=2y=33）检验二元一次方程组解的方法：将有序数对带入方程中，若方程组等式都成立，则为方程组的解；若有方程不成立，则不是方程的解。注：方程组中只要有一个方程带入后不成立，则不是方程的解。例1.已知二元一次方程3x+2y=6，请写出3组方程的解。例2.判断下列各组数是不是二元一次方程组2a-b=53a+b=10的解（1）a=7b=7（2）a=3b=1例3.用二元一次方程（组）表示下列数量关系：（1）甲数的相反数加上乙数的0.4倍，和是8； （2）甲、乙两数的差是5，且甲数比乙数的一半大5.二、典型题型题型1 二元一次方程（组）的概念和判断解题技巧：二元一次方程的判断主要注意以下几点： 含有2个未知数，即未知数前的系数不为0； 未知数的次数为1 二元一次方程组的判断需要注意以下几点： 方程组中是否一共有两个未知数含未知数的项的次数是否都是1是否含有多个方程组成例1.下列方程中是二元一次方程的是：A.xy-5=1B.3x+1y=2C. x2+13=4yD.x=12y例2.下列方程组中是二元一次方程组的是：A.x+2y=1y+z=3B. 2x-3y=11x3+2y=1C. x-y4+x+y5=14x+y9-x-y3=12D. x-7y=3xy=2例3.若方程2x2m+3+3y5n-9是关于x，y的二元一次方程，求m2+n2的值。例4.已知关于x，y的方程（k2-1）x2+（k+1）x+（k-7）y=k+2.（1）当k取什么值时，该方程为一元一次方程。（2）当k取什么值时，该方程为二元一次方程？题型2 二元一次方程组的简单应用解题技巧：根据题干找出等量关系式，二元一次方程组的应用中，一般有2个（3个）并列的等量关系式；再根据等量关系式设未知数；最后列写方程。例1.小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯。小锦买了20支中性笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支中性笔和3盒笔芯，仅用了28元。根据题意，列写方程组。例2.某中学组织七年级学生春游，原计划租用45座的客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。试问七年级人数是多少？原计划租用45座的客车多少量（只列方程组）？三、难点题型题型1 运用方程组的解的定义解题技巧：寻找二元一次方程，重点是观察并发现解中x，y之间的特征。例1.已知x=1y=2和x=2y=4都是二元一次方程的解，请写出一个二元一次方程。例2.已知x=2y=1是方程组2x+m-1y=2nx+y=1的解，求m、n的值。题型2 方程组解的个数解题技巧：对于二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2 (1)当a1a2b1b2时，方程和方程是两个不同的方程，方程有唯一解 (2)当a1a2=b1b2=c1c2时，方程和方程是同一个方程，方程有无数解 (3)当a1a2=b1b2c1c2时，可转化为：a1x+b1y=c1a1x+b1y=c2，两个方程互相矛盾，方程无解例1.ax+2y=1+a2x+2（a-1）y=3，求方程组的解。例2.已知方程组3x+my=5x+ny=4，无解，m、m的绝对值小于10的整数，求m、n的值。例3.判断下列方程组有多少个解：（1）x+y+z=32x+2y+z=5z=1（2）x+2y=4+x2x+2y=88.2 消元-解二元一次方程组知识框架&基础知识点&代入消元法&加减消元法&典型题型&代入消元法和加减消元法比较&先化简系数再消元&整体消元法&整体代入消元法&整体加减消元法&整体换元法&难点题型&二元一次方程组同解&运用错解求正解&含绝对值的方程组&求二元一次不定方程的整数解一、基础知识点知识点1 代入消元法1） 代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法。2） 代入消元法的步骤：在方程组中选取一个系数比较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程。利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解。例1.用代入消元法解方程 （1）x-y=53x-2y=10（2）2x+y=137x+y=3例2.解方程组: 2x-3y=3x+2y=-2知识点2 加减消元法1）消元法的目的：消去一个未知数，转化为方便求解的一元一次方程2）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法。注：当两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系时，将某一个方程扩大相应倍数，使两个方程中某个未知数的系数相同或相反，然后再利用加减消元法。若两个方程中两个未知数的系数不相等且不成倍数关系时，则应选取一组系数，求出其对应最小公倍数，对方程组变形（系数变形成对应最小公倍数），再利用加减消元法。（此种情况，加减消元法与代入消元法难易程度差不多，随意选取）。3）加减消元法步骤：确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值。例1.用加减消元法解方程 （1）x-y=53x-y=10 （2）8x+9y=7317x-3y=74（3）4x+3y=33x-2y=15例2.解方程组: 2x-3y=3x+2y=-2二、典型题型题型1 代入消元法和加减消元法比较解题技巧：代入消元法和加减消元法是2种基础的消元法，各有优劣：1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数时（或易于转化为该形式时），用代入消元法。例： x=2y+3x+3y=82）当方程组中，某一个未知数在两个方程中的系数相同或互为相反数时（或成倍数时），用加减消元法。例： 2x+3y=72x+5y=93）无上述两种特征，依据个人喜好定方法。例： 3x+2y=74x-4y=-4 2x-3y=3x+4y=-4例1.选择合适方法解方程 （1）x=2y+3x+3y=8 （2）2x+3y=72x+5y=9 （3）3x+2y=74x-4y=-4题型2 先化简系数再消元解题技巧：当二元一次方程系数比较复杂时，应先化简（去分母、去括号、移项、合并同类项等）。通常要把每个方程整理成含有未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再利用消元法解方程。例1.解方程组：3x+y-4x-y=4x+y2+x-y6=1例2.解方程组：4x-y-1=31-y-2x2+y3=2题型3 整体消元法整体消元法&整体代入消元法&整体加减消元法&整体换元法一、整体代入消元法解题技巧：代入消元法常规作法是当未知数系数为1时，进行代入从而起到消元的目的。我们可以从整体入手，当两个方程中都存在相同的部分时，可以把它们视作一个整体。这样的话，就符合代入消元法的特征，从而实现消元。具体见下列实例：例1.解方程：2x=2+2y2x+3y=-3例2.解方程：x+y=22x+y-3y=10例3.解方程：23x-1=3+3y3x-1=2y二、整体加减消元法解题技巧：当两个方程之间有的字母系数有一定的规律，可以尝试用整体加