江苏高考数学一轮复习《等差、等比数列在实际问题中的应用》 教程学案

第66课等差、等比数列在实际问题中的应用1. 能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能运用有关知识解决相应问题.2. 通过解决实际问题的过程，培养提出问题，分析问题，解决问题的能力.1. 阅读：必修5第4546页，第5859页.2. 解悟：生活中的等差数列和等比数列模型；体会课本中从情境中提炼出等差数列和等比数列的方法基础诊断1. 用火柴棒按下图的方法搭.按图示的规律搭下去，则可推测第n个图中所用的火柴棒数量an2n1.解析：由图可知，三角形的个数增加一个，则火柴棒的数量增加2，所以火柴棒数量an是一个首项为3，公差为2的等差列，所以an32(n1)2n1.2. 某种细胞在培养过程中，每20分钟分裂一次(1个变成2个)，那么经过3小时，这种细胞由1个可以分裂成512个.解析：360209(次)，29512(个)，故经过3小时，这种细胞由1个可以分裂成512个.3. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则这座塔的顶层共有灯3盏.解析：设塔的顶层有a盏灯.由题意可知，各层的灯数构成一个首项为a，公比为2的等比数列，所以381，解得a3，故塔的顶层共有灯3盏.4. 一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm，将梯形的一条腰10等分，过每个分点作平行于梯形底边的直线，这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.解析：因为是10等分，所以设上底a1，下底a11，根据梯形的中位线定理可知a1a112a6，a2a102a6，a3a92a6，a4a82a6，a5a72a6，所以a2a3a4a109a6，a617，所以a2a3a4a10917153，故夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.范例导航考向 等差数列模型例1流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8 670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求出这一天的新患者人数.解析：由题意知11月1日到n日，每天新感染者人数构成等差数列an，a120，d150，所以11月n日新感染者人数an50n30.从n1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn，b150n60，d230，所以这30天内感染该病毒的患者人数为(30n)(50n60)(30)8 670，化简得n261n5880，解得n12或n49(舍)，即11月12日这一天感染此病毒的新患者人数最多有570人.考向 等比数列模型例2某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1) 设n年内(本年为第1年)总投入An万元，旅游业总收入Bn万元，求An和Bn；(2) 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(lg 20.301)解析：(1) 第一年投入800万元，第二年投入800万元，第n年投入800(1)n1万元，所以n年内的总投入为An8008008004 0004 000；第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400万元，第n年旅游业收入为400万元，所以n年内的旅游业总收入为Bn400400(1)400(1)n11 600()n1 600.(2) 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，则BnAn0，即1 6001 6004 0004 0000，化简得2570.设x，代入上式得2x27x50，解得x或x1(舍去)，即，两边取对数得nlg lg ，所以n4.103，即n5.故至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.考向 分期付款模型例3某工厂更新设备，在1993年初贷款100万元，从该年度末开始，每年度末偿还一定的金额，计划在10年内还清，年利率为13%，那么每年需偿还金额多少万元？解析：方法一：设每年偿还金额为x万元，则第一年末贷款余额为100(113%)x；第二年末贷款余额为100(113%)x(113%)x100(113%)21(113%)x；第三年末贷款余额为100(113%)x(113%)x(113%)x100(113%)31(113%)(113%)2x，所以第10年末贷款余额为100(113%)101(113%)(113%)2(113%)9x，所以100(113%)101(113%)(113%)2(113%)9x0，解得x18.4，故每年需偿还金额18.4万元.方法二：10年内，借款的本利和为100(113%)10万元，设每年偿还金额为x万元，则还款的本利和为x(113%)9(113%)8(113%)1万元，由借款本利和等于分期付款的本利和，可得100(113%)10x(113%)9(113%)8(113%)1，所以x18.4，故每年需偿还金额18.4万元.【注】 理解、记忆分期付款中建立方程的依据.自测反馈1. 有一个细胞集团，每小时死亡2个，余下的各个分裂成2个，设最初有细胞7个，n小时后细胞总数为32n4.解析：设n小时后的细胞总数为an，则a07，且an12(an2)，即an142(an4)，所以数列an4是首项为a043，公比为2的等比数列，所以an32n4(nN).因此，n小时后的细胞总数为(32n4)个.2. 植树节某班20名同学在一段直线公路的一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为2 000m.解析：设放置在第x个树坑旁边，则s102(x1)(x2)21012(20x)2020(x221x210)，由对称轴方程为x10.5，知当x10或11时，s取得最小值2 000.3. 某人为了购买商品房，从2008年起，每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄.若年利率为p，每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款，到2016年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税)，则可取人民币总数为元.解析：到2016年1月1日可取回钱的总数为a(1p)8a(1p)7a(1p).4. 现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10cm，最下面的三节长度之和为114cm，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n16.解析：由题意得每节竹竿的长度构成等差数列an，公差为d(d>0).由题意知a110，anan1an2114，aa1an，则3an1114，解得an138，所以(a15d)2a1(an1d)，即(105d)210(38d)，解得d2，所以an1102(n2)38，解得n16.1. 数列应用题的一般思路：(1) 读题分析，明确哪些量成等差数列，哪些成等比数列，哪些量给出的是递推关系；(2) 应用相关数列知识解答.2. 你还有那些体悟，写下来：7