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江苏高考数学一轮复习《等差、等比数列在实际问题中的应用》 教程学案

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  • 卖家[上传人]:lb2****090
  • 文档编号:127765649
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    • 1、第66课等差、等比数列在实际问题中的应用1. 能在具体问题情境中,发现等差、等比数列模型,并能运用有关知识解决相应问题.2. 通过解决实际问题的过程,培养提出问题,分析问题,解决问题的能力.1. 阅读:必修5第4546页,第5859页.2. 解悟:生活中的等差数列和等比数列模型;体会课本中从情境中提炼出等差数列和等比数列的方法基础诊断1. 用火柴棒按下图的方法搭.按图示的规律搭下去,则可推测第n个图中所用的火柴棒数量an2n1.解析:由图可知,三角形的个数增加一个,则火柴棒的数量增加2,所以火柴棒数量an是一个首项为3,公差为2的等差列,所以an32(n1)2n1.2. 某种细胞在培养过程中,每20分钟分裂一次(1个变成2个),那么经过3小时,这种细胞由1个可以分裂成512个.解析:360209(次),29512(个),故经过3小时,这种细胞由1个可以分裂成512个.3. 我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则这座塔的顶层共有灯3盏.解析

      2、:设塔的顶层有a盏灯.由题意可知,各层的灯数构成一个首项为a,公比为2的等比数列,所以381,解得a3,故塔的顶层共有灯3盏.4. 一个梯形两底边的长分别是12cm与22cm,将梯形的一条腰10等分,过每个分点作平行于梯形底边的直线,这些直线夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.解析:因为是10等分,所以设上底a1,下底a11,根据梯形的中位线定理可知a1a112a6,a2a102a6,a3a92a6,a4a82a6,a5a72a6,所以a2a3a4a109a6,a617,所以a2a3a4a10917153,故夹在梯形两腰间的线段的长度的和为153cm.范例导航考向 等差数列模型例1流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感,据资料记载,11月1日,该市新的流感病毒感染者有20人,此后,每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人.由于该市医疗部门采取措施,使该种病毒的传播得到控制,从某天起,每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人,到11月30日止,该市在这30天内感染该病毒的患者共有8 670人,问11月几日,该市感染此病毒的

      3、新患者人数最多?并求出这一天的新患者人数.解析:由题意知11月1日到n日,每天新感染者人数构成等差数列an,a120,d150,所以11月n日新感染者人数an50n30.从n1日到30日,每天新感染者人数构成等差数列bn,b150n60,d230,所以这30天内感染该病毒的患者人数为(30n)(50n60)(30)8 670,化简得n261n5880,解得n12或n49(舍),即11月12日这一天感染此病毒的新患者人数最多有570人.考向 等比数列模型例2某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1) 设n年内(本年为第1年)总投入An万元,旅游业总收入Bn万元,求An和Bn;(2) 至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?(lg 20.301)解析:(1) 第一年投入800万元,第二年投入800万元,第n年投入800(1)n1万元,所以n年内的总投入为An8008008004 0004 000;第一年旅游业

      4、收入为400万元,第二年旅游业收入为400万元,第n年旅游业收入为400万元,所以n年内的旅游业总收入为Bn400400(1)400(1)n11 600()n1 600.(2) 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,则BnAn0,即1 6001 6004 0004 0000,化简得2570.设x,代入上式得2x27x50,解得x或x1(舍去),即,两边取对数得nlg lg ,所以n4.103,即n5.故至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入.考向 分期付款模型例3某工厂更新设备,在1993年初贷款100万元,从该年度末开始,每年度末偿还一定的金额,计划在10年内还清,年利率为13%,那么每年需偿还金额多少万元?解析:方法一:设每年偿还金额为x万元,则第一年末贷款余额为100(113%)x;第二年末贷款余额为100(113%)x(113%)x100(113%)21(113%)x;第三年末贷款余额为100(113%)x(113%)x(113%)x100(113%)31(113%)(113%)2x,所以第10年末贷款余额为100(113%)101(113%)(113%)2(113%

      5、)9x,所以100(113%)101(113%)(113%)2(113%)9x0,解得x18.4,故每年需偿还金额18.4万元.方法二:10年内,借款的本利和为100(113%)10万元,设每年偿还金额为x万元,则还款的本利和为x(113%)9(113%)8(113%)1万元,由借款本利和等于分期付款的本利和,可得100(113%)10x(113%)9(113%)8(113%)1,所以x18.4,故每年需偿还金额18.4万元.【注】 理解、记忆分期付款中建立方程的依据.自测反馈1. 有一个细胞集团,每小时死亡2个,余下的各个分裂成2个,设最初有细胞7个,n小时后细胞总数为32n4.解析:设n小时后的细胞总数为an,则a07,且an12(an2),即an142(an4),所以数列an4是首项为a043,公比为2的等比数列,所以an32n4(nN).因此,n小时后的细胞总数为(32n4)个.2. 植树节某班20名同学在一段直线公路的一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距10m.开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为2 0

      6、00m.解析:设放置在第x个树坑旁边,则s102(x1)(x2)21012(20x)2020(x221x210),由对称轴方程为x10.5,知当x10或11时,s取得最小值2 000.3. 某人为了购买商品房,从2008年起,每年1月1日到银行存入a元一年定期储蓄.若年利率为p,每年到期存款及利息均自动转为新一年定期存款,到2016年1月1日(当日不存只取)将所有的存款及利息全部取回(不计利息税),则可取人民币总数为元.解析:到2016年1月1日可取回钱的总数为a(1p)8a(1p)7a(1p).4. 现有一根n节的竹竿,自上而下每节的长度依次构成等差数列,最上面一节长为10cm,最下面的三节长度之和为114cm,第6节的长度是首节与末节长度的等比中项,则n16.解析:由题意得每节竹竿的长度构成等差数列an,公差为d(d>0).由题意知a110,anan1an2114,aa1an,则3an1114,解得an138,所以(a15d)2a1(an1d),即(105d)210(38d),解得d2,所以an1102(n2)38,解得n16.1. 数列应用题的一般思路:(1) 读题分析,明确哪些量成等差数列,哪些成等比数列,哪些量给出的是递推关系;(2) 应用相关数列知识解答.2. 你还有那些体悟,写下来:7

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