2020年高考理科数学下册全国统一考试理数猜想卷（含答案和解析）

理科数学试题 第 页 共 页 绝密 启用前 年普通高等学校招生全国统一考试 猜想卷 理科数学 考试时间 分钟 试卷满分 分 注意事项 答卷前 考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净 后 再选涂其他答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试卷上无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 选择题 共 分 一 选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 已知集合 则 三角锥垛 古希腊毕达哥拉斯学派的 三角形数 是一列点 或圆球 在等距的排列下可以形成正三角 形的数 如 我国宋元时期数学家朱世杰在 四元玉鉴 中所记载的 垛积 术 其中的 落一形 堆垛就是每层为 三角形数 的三角锥的堆垛 如图所示 顶上一层 个球 下一层 个球 再下一层 个球 若一 落一形 三角锥垛有 层 则该堆垛总共 球的个数为 下列图象中 不可能是函数 的图象的是 理科数学试题 第 页 共 页 用 算筹 表示数是我国古代计数方法之一 计数形式有纵式和横式两种 如图 所示 金元时期的数学家李 冶在 测圆海镜 中记载 用 天元术 列方程 就是用算筹来表示方程中各项的系数 所谓 天元术 即是一种 用数学符号列方程的方法 立天元一为某某 意即 设 为某某 如图 所示的天元式表示方程 其中 表示方程各项的系数 均为筹算数码 在常数项旁边记一 太 字或在一次项旁边记一 元 字 太 或 元 向上每层减少一次幂 向下每层增加一次幂 试根据上述数学史料 判断图 所示的天元式表示的方程是 执行如图所示的程序框图 输出结果 已知单位向量 的夹角为 且 若向量 则 或 已知 的展开式中 的系数是 则常数 应当满足的条件是 已知椭圆 的左 右焦点分别为 过 的直线与椭圆 交于 两点 若 则椭圆 的离心率为 已知函数 其中 有下述四个结论 其中所有正确结论的编号是 设定义在 上的函数 满足 且当 时 若对任意 不等式 恒成立 则实数 的最小值是 理科数学试题 第 页 共 页 第 卷 非选择题 共 分 二 填空题 本题共 小题 每小题 分 共 分 已知数列 是等差数列 是其前 项和 若 则 在平面区域 内随机取一点 使二次函数 在 上无零点的概率为 甲 乙两人进行象棋比赛 采取五局三胜制 当一人先赢 局时获胜 比赛结束 棋局以红棋与黑棋对阵 两 人执色轮流交换 执红棋者先走 假设甲执红棋时取胜的概率为 执黑棋时取胜的概率为 各局比赛结果 相互独立 且没有和局 若比赛开始 甲执红棋开局 则甲以 获胜的概率为 中国古代数学家刘徽在 九章算术注 中记述 羡除 隧道也 其形体上面平而下面斜 一 面与地面垂直 并用 分割法 加以剖分求其体积 如图所示的五面体 是一个羡 除 两个梯形侧面 与 相互垂直 若 梯形 与 的高分别为 和 则该羡除的体积 由此归纳出求 羡除体积的一般公式为 三 解答题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 题为必考题 每个试题考生都必须 作答 第 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 分 分 已知在 中 三个内角 所对的边分别为 且 求 的外接圆半径 若 求 的面积 的最大值 分 已知 分别是 的边 上的一点 且 的右焦点为 半焦距 点 到右准线 的距离为 过点 作双曲线 的两条互相垂直的弦 设 的中点分别为 求双曲线 的标准方程 证明 直线 必过定点 并求出此定点坐标 分 已知函数 证明 在 上有唯一零点 若对任意 恒成立 求实数 的取值范围 二 选考题 共 分 请考生在第 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题计分 选修 坐标系与参数方程 分 已知在平面直角坐标系 中 曲线 的参数方程为 为参数 直线 的参数方程为 为参数 若 求曲线 与直线 的两个交点之间的距离 若曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 求 的值 选修 不等式选讲 分 已知函数 当 时 解不等式 若不等式 恒成立 求实数 的取值范围 理科数学 答案全解全析 一 选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分 命题意图 本题考查不等式及其运算等知识 解题思路 由 可得 由 可得 所以 故选 命题意图 本题以数学文化为背景 考查数列知识及运算能力 解题思路 三角形数 的通项公式 前 项和 当 时 故选 命题意图 本题考查函数图象及函数单调性等知识 解题思路 函数 为非 单调函数 排除 故选 命题意图 本题以数学文化为背景 考查数学阅读理解能力等 解题思路 对照图 可知图 中的数字从上到下依次为 又 元 在 旁 故 为一次项系数 为二 次项系数 为常数项 故选 命题意图 本题考查程序框图及运算能力 解题思路 输出 时 所以 故选 命题意图 本题考查向量及运算能力 解题思路 由 为 的夹角 故 为锐角 所以求 得 所以 故选 命题意图 本题考查二项式定理 通项公式及运算能力 解题思路 的通项公式为 其中 的系数为 展开式中没有含 的项 所 以 中 的系数为 所以 而 故选 命题意图 本题考查椭圆 离心率等知识及运算能力 解题思路 设椭圆 的焦点坐标 则 由 容易 求得 在 和 中 由余弦定理的推论得 因为 所以 化简得 设椭圆 的离心率为 则 解得 或 舍去 即椭圆 的离心率 故选 命题意图 本题考查多项式函数与数列 递推关系等知识及 运算求解能力 解题思路 由 当 时 令 得 由 令 得 而 所以 故 错误 所以 而 所以 故 正确 将第 式两边同时乘 第 式两边同时乘 第 式两边同时乘 再将 到 这 个等式累加得 故 正确 故选 命题意图 本题考查函数的零点 不等式 变换等知识及数形 结合思想的应用 解题思路 由已知 当 时 可得 当 时 当 时 画出函数草图 令 化简得 解得 由图可知 当 时 不等式 恒成立 故选 二 填空题 本题共 小题 每小题 分 共 分 命题意图 本题考查数列递推公式 数列及其求和等运算能力 解题思路 由 得 又 即 解得 所以 命题意图 本题考查简单线性规划 几何概型等知识及数形 结合思想 解题思路 不等式组表示的平面 区域为如图所示的 的内部 及边 界 则 而二次函数 在 上无零点 则 即 单调递增 当 时 则 所以 在 上单调递增 因为 则 由 知 在 上单调递增 且有唯一零点 所以 当 时 时 因此 当 时 时 所以 在 上单调递减 在 上单调递增 所以 分 由 得 令 则 所以 在 上单调递增 由于 等价于 所以 于是有 所以 所以 分 二 选考题 共 分 命题意图 本题考查极坐标与参数方程的有关知识 解题思路 若 的参数方程为 为 参数 即 为参数 与曲线 联立得 则 所以曲线 与直线 的两交点间的距离为 分 直线 的普通方程为 故曲线 上的点 到直线 的距离 分 当 时 的最大值为 由题设得 解得 当 时 的最大值为 由题设得 所以 综上 或 分 命题意图 本题考查绝对值不等式及均值不等式的有关知识 解题思路 当 时 化简为 分 由 得 或 分 分 所以不等式 恒成立 只要 即可 当 时 该不等式无解 当 时 解得 综上 实数 的取值范围是 分