信号与系统王明泉第六章习题解答
第6章 线性时不变离散系统的时域分析6.6本章习题全解6.1 分别绘出以下各序列的图形(1)(2)(3)(4)(5)(6)解:6.2 判断以下序列是否是周期性的,如果是周期性的,试确定其周期。解:设信号的最小周期为N,则有,k为任意整数对于正弦信号,所以只有当时,成立即满足,所以只有为有理数时,即时,可得到为周期序列。根据以上的分析,可得(1),为周期序列,当取时,可得周期(2),为非周期序列(3),为周期序列,当取时,可得周期(4),为非周期序列6.3设均为周期序列, 其周期分别为, 请问这三个序列的线性组合是否还是周期序列? 若是, 周期是多少?解:该序列还是周期序列。设,周期为N则因为均为周期序列,所以,所以只有当时,成立。此时,即表示N为的最小公倍数。所以这三个序列的线性组合还是周期序列周期是的最小公倍数。6.4 巳知序列的图形如下图表示, (1)写出它们的数值序列; (2)求下列卷和的数值序列表示式; (3)将所求各卷和用单位函数序列表示。11-1-110211211n210-11n120-1-2n03(a)(b)(c)(d)n题图6-6解:(1),(2)求1.做出的波形;2.翻褶。以为对称轴,折叠,得到,对应序号相乘,相加得;3.将位移一个单元,对应序号相乘,相加得;4.重复步骤3,得最终得到结果如下:所以同理求所以同理求所以同理求所以(3) 6.5 已知序列x(n)和h(n)如下:求线性卷积,并用公式表示。解: 6.6 卷积的一个重要的性质是结合律。即若。分别按上述三种结合方式计算卷积,根据结果能得出什么结论?解:(1) (2)(3)6.8 判断以下系统是否线性的,是否时不变的,是否稳定或因果的?解:(1)所以,系统为非线性,系统为时不变对于任意的,则有,所以系统是稳定的。只根n时刻的输入有关,所以系统是因果的(2),系统为非线性,系统为时不变对于任意的,则有,所以系统是稳定的。根n-3时刻的输入有关,所以系统是非因果的(3)所以,系统为线性,所以,系统为时变对于任意的,则有,所以系统是稳定的。只根n时刻的输入有关,所以系统是因果的(4)所以,系统为非线性,系统为时变对于任意的,则有,所以系统是稳定的。只根n时刻的输入有关,所以系统是因果的(5)所以,系统为线性,系统为时不变对于任意的,则有,所以系统是不稳定的。根n时刻以后时刻的输入有关,所以系统是非因果的(6)所以,系统为线性,系统为时不变对于任意的,则有,所以系统是不稳定的。只根n时刻的输入有关,所以系统是因果的6.9 以下各序列是系统的单位样值响应,试判断各系统的因果性和稳定性。(1) (2) (3) (4) (5) (6) 解:(1)当时,所以该系统是因果系统,所以该系统是稳定系统(2)当时,所以该系统是因果系统,所以该系统是稳定系统(3)当时,所以该系统是非因果系统,所以该系统是不稳定系统(4)当时,所以该系统是非因果系统,所以该系统是稳定系统(5)当时,所以该系统是因果系统,所以该系统是稳定系统(6)当时,所以该系统是因果系统,所以该系统是不稳定系统6.10 求题图6-10所示的复合系统有三个系统组成,它们的单位样值响应分别为,求复合系统的单位样值响应。题图6-10解:根据题意得复合系统的单位样值响应为6.11两个离散时间系统A和B,其中系统A是一个LTI系统,其单位样值响应为系统B分别为:(1);(2)。其中是B的输入,是B的输出。分别计算题图6-21 (a)、(b)所示两个级联系统的单位样值响应。证明这两个系统不具备交换律性质。题图6-21解:(a)设时,系统A的输出为,则所以(b)设时,系统B的输出为,则6.12 试证明:如果一个离散时间LTI系统的输入是周期为N的周期信号,则输出也是周期为N的周期信号。证明:是周期为N的周期信号,即设LTI系统的单位样值响应函数为则系统输出为因为系统为LTI系统,满足移不变特性,所以所以也是周期为N的周期信号6.13 以每月支付D美元的办法偿还一笔100000美元的贷款。利息(按月复利)是按每年未偿还金额的12%计算的。例如,第一个月总的欠款为设为第个月支付的余下未付欠款,贷款是第0个月借的,第一个月开始每月偿还,试写出差分方程。 解: 即其中6.14 一个乒乓球从米高度自由下落至地面,每次弹起的最高值是前一次最高值的1,若以表示第次跳起的最高值,试列写描述此方程的差分方程。解:,即初始条件6.15 试利用经典法求解下列系统的全响应(1),(2),解:(1)特征方程为,特征根为,因为方程的输入为0,所以可设方程的解为带入初始条件,解得所以(2)设特解为,代入方程,得所以特征方程为,特征根为,设方程的其次解为所以完全解为带入初始条件,解得所以 6.16 已知各系统的差分方程如下,求各系统的零输入响应(1),,;(2),。解:(1)特征方程为,特征根为因为是三重根,设方程的解为代入初始条件,解得(2)特征方程为,特征根为设方程的解为代入初始条件,解得6.17 已知系统的差分方程为初始条件,。(1) 求系统的零输入响应和单位样值响应;(2) 若,求系统的零状态响应。解:(1)特征方程为,特征根为设零输入响应为代入初始条件,解得,所以当系统方程输入为时,系统输出为,此时差分方程为所以,根据系统方程,以及,可得起始状态代入条件解得所以另外输入为时,输出为所以系统的单位样值响应(2)系统的零状态响应6.18 已知系统的差分方程为初始条件,。求系统的全响应。解:设特解代入方程得,所以特征方程为,特征根为设完全响应为代入初始条件,解得所以6.19 某系统的输入输出关系可由二阶常系数线性差分方程描述,如果相应于输入为的响应为(1) 若系统起始为静止的,试决定此二阶差分方程。(2) 若系统激励为,求响应。解:根据方程的解可知,其次解为,即特征根为2,5特解为设差分方程为将特解代入方程,得 (式1)根据解得,代入方程得,所以所以系统差分方程为(2)输出为6.20 已知线性时不变系统的单位样值响应以及输入,求输出,并绘图示出。(2)解:根据系统时域分析12340432216.22 已知和是两个实数值的离散时间信号,和的自相关函数和互相关函数分别定义为,(1) 对题图6-22所示的信号,计算自相关序列;(2) 计算互相关序列和;(3) 设一LTI系统的,利用和表示题图6-22解:(1)(2)(3)