人教版数学九年级下册期末考点 反比例函数（知识点串讲）（解析版）

反比例函数知识网络重难突破知识点一 反比例函数的基础 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。表现形式：还可以写成 和 xy= k 的形式.【注意】反比例函数的自变量x0，故函数图象与x轴、y轴无交点。反比例函数解析式的特征:1.等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.2.比例系数3.自变量的取值为一切非零实数。4.函数的取值是一切非零实数。典例1 下列函数中，是反比例函数的是（）ABCD【答案】B【详解】解：A属于正比例函数，不符合反比例函数的一般形式，故本选项不合题意；B. 是反比例函数，故本选项符合题意；C. 不符合反比例函数的一般形式，故本选项不合题意；D不符合反比例函数的一般形式，故本选项不合题意；故选：B典例2 （路北区期末）下列各点中，在函数y=-图象上的是（）ABCD【答案】C【详解】A.(2)(4)86，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；B2366，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；C(1)66，此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；D36，此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误故选C.典例3 （2018招远市期中）函数y= 是反比例函数,则（ ） A m 0 B m 0且 m1 C m =2 D m =1或2【答案】C【解析】试题分析：由题意知：3m+1=1，解得：=1，=2.但当m=l时，m =0，不合题意，应舍去，只取m=2.典例4 （2018长沙市期中）函数的图象是双曲线，则m的值是（ ）A1B0C1D2【答案】C【详解】解：函数的图象是双曲线，解得m=1故选：C典例5 （2019无锡市期中）反比例函数ykx(k0)的图象经过点(2，-4)，若点(4，n)在反比例函数的图象上，则n等于( )A8B4C18D2【答案】D【详解】点（2，-4）和点（4，n）在反比例函数y=kx的图象上，4n=2(-4)，n=-2故选D典例6 （2019莱芜市期中）若函数（m+1）x|m|2是反比例函数，则（）A1B3C1D1【答案】D【详解】函数=（m+1）x|m|2是反比例函数，|m|2=1，解得：m=1m+10，m1，m=1故选D典例7 已知反比例函数（k为常数，且k0）的图象经过点（3，4），则该函数图象必不经过点（ ）A（2，6）B（-1，-12）C（，24）D（-3，8）【答案】D【详解】反比例函数（k为常数，且k0）的图象经过点（3，4），k=34=12；依次判断：A、26=12经过，B、-1（-12）=12经过，C、24=12经过，D、-38=-24不经过，故选D典例8（2019铁岭市期末）函数的自变量的取值范围是( )ABCD【答案】A【详解】解: 函数为反比例函数,其自变量不为0,故答案为A.典例9 （2018苏州市期末）若反比例函数y(k0)的图象经过点P(2，6)，则k的值是( )A3B3C12D12【答案】D【详解】解：反比例函数y(k0)的图象经过点P(2，6)，得k12，故选：D典例10（2019海淀区期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）ABCD【答案】B【详解】A选项是正比例函数；B选项是反比例函数；C选项不是反比例函数；D选项,y是x-2的反比例函数。故选B知识点二 反比例函数的图像和性质 图像的画法：描点法1.列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）2.描点（由小到大的顺序）3.连线（从左到右光滑的曲线）图像的特征：1.函数的图像是双曲线2.图像的对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上图象关于直线y = x或y= -x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上3.k的取值与函数图象弧度之间的关系：|k|越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直|k|越小，图象的弯曲度越大反比例函数的性质：的取值图像所在象限函数的增减性k>0一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小k>0二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大【注意】双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论典例1（2019德州市期末）a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=的图象上，则（）Aab0Bba0Ca0bDb0a【答案】A【解析】解：，反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数的图象上，ab0，故选A典例2（2018宜春市期末）若ab0，则正比例函数y=ax与反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象可能是（）ABCD【答案】B【详解】解：ab0，分两种情况：（1）当a0，b0时，正比例函数y=ax数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；（2）当a0，b0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合故选B典例3（2019泉州市期中）反比例函数，下列说法不正确的是（）A图象经过点(1,-3)B图象位于第二、四象限C图象关于直线y=x对称Dy随x的增大而增大【答案】D【详解】解：由点的坐标满足反比例函数，故A是正确的；由，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；由反比例函数的对称性，可知反比例函数关于对称是正确的，故C也是正确的，由反比例函数的性质，在每个象限内，随的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，故选：D典例4 （2019泉州市期中）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为近视眼镜的度数y（度）2002504005001000镜片焦距x（米）0.500.400.250.200.10Ay=100xBy=x100Cy=400xDy=x400【答案】A【详解】解：由表格中数据可得：xy100，故y关于x的函数表达式为：y=100x故选：A典例5（2019滨州市期中）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（）A图象分布在第一、三象限B当x0时，y随x的增大而减小C图象经过点（2，3）D若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1x2，则y1y2【答案】D【详解】A、k60，它的图象在第一、三象限，故本选项正确，不符合题意；B、k60，当x0时，y随x的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；C、3，点（2，3）在它的图象上，故本选项正确，不符合题意；D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y的图象上，若x1x20，则y1y2，故本选项错误，符合题意故选：D典例6（2019大同市期末）点A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y图象上的两点，那么y1，y2的大小关系是（）Ay1y2By1y2Cy1y2D不能确定【答案】C【详解】解：A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y图象上的两点，y16，y22，y1y2故选：C典例7（2019宝鸡市期末）在反比例函数y的图象的每一支位上，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）Am7Bm7Cm7Dm7【答案】A【解析】反比例函数的图象的每一支曲线上，y随x的增大而减小，m70，解得：m7故选A典例8（2019南昌市期中）面积为4的矩形的长为x，宽为y，则y与x的函数关系的图象大致是（）ABCD【答案】B【详解】解：由矩形的面积4xy，可知它的长x与宽y之间的函数关系式为 （x0），是反比例函数图象，且其图象在第一象限故选：B典例9（2019桂林市期中）已知反比例函数的图象经过点P（4，1），则该反比例函数的图象所在的象限是（）A第一、二象限B第一、三象限C第二、三象限D第二、四象限【答案】D【详解】解：设反比例函数的解析式为 ，将P（4，1）代入得k40，则它的图象在第二、四象限故选：D典例10（2018路北区期末）若双曲线y位于第二、四象限，则k的取值范围是( )Ak1Bk1Ck1Dk1【答案】A【解析】双曲线位于第二、四象限，k-10，k1故选A知识点三 k值的意义（难点）1）设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PAx轴于A点，PBy轴于B点，则矩形PBOA的面积是|k|（三角形PAO和三角形PBO的面积都是k2）2）由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCPA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为2|k|3）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称典例1（2019青岛市期末）如图，在AOB中，AOB90，点A的坐标为（2，1），BO2，反比例函数y的图象经过点B，则k的值为（）A2B4C4D8【答案】D【详解】过点A作ACx轴，过点B作BDx轴，垂足分别为C、D，则OCABDO90，DBO+BOD90，AOB90，AOC+BOD90，DBOAOC，DBOCOA，点A的坐标为（2，1），AC1，OC2，AO，即BD4，DO2，B（2，4），反比例函数y的图象经过点B，k的值为248故选：D典例2（2018惠民县期末）如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当k1x+b时，x的取值范围为（）Ax2B2x6Cx6D0x2或x6【答案】D【解析】详解：由图象可知，当k1x+b时，x的取值范围为0x2或x6故选：D典例3（2018秦皇岛市期末）如图，过反比例函数的图像上一点A作AB轴于点B，连接AO，若SAOB=2，则的值为（ ）A2B3C4D5【答案】C【解析】试题分析：观察图象可得，k0