优佳学案2018高考数学文（云南）二轮复习课件：3.7.1 几何证明选讲（选修4—1）

3 7选修4系列 3 7 1几何证明选讲 选修4 1 3 4 1 平行线等分线段定理 1 定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 2 推论 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线平分另一腰 2 平行线分线段成比例定理 1 定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 2 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 5 3 相似三角形的判定与性质 1 相似三角形的判定定理 两角对应相等的两个三角形相似 两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 2 相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比 对应中线的比 对应角平分线的比和对应周长的比都等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 4 直角三角形的射影定理在直角三角形中 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项 6 5 圆周角定理及推论 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 2 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 6 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对弧的度数 7 7 圆内接四边形的性质与判定定理 1 性质定理1 圆内接四边形的对角互补 2 性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角 3 判定定理 如果一个四边形的对角互补 那么这个四边形的四个顶点共圆 4 判定定理的推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角 那么这个四边形的四个顶点共圆 8 圆的切线的性质 1 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 推论 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 9 圆的切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 8 10 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 11 与圆有关的比例线段 1 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 2 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 3 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 4 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 9 考向一 考向二 考向三 考向四 相似三角形的应用例1 2016全国甲卷 文22 如图 在正方形ABCD中 E G分别在边DA DC上 不与端点重合 且DE DG 过D点作DF CE 垂足为F 1 证明 B C G F四点共圆 2 若AB 1 E为DA的中点 求四边形BCGF的面积 10 考向一 考向二 考向三 考向四 1 证明 因为DF EC 所以 DEF CDF 则有 GDF DEF FCB 所以 DGF CBF 由此可得 DGF CBF 因此 CGF CBF 180 所以B C G F四点共圆 11 考向一 考向二 考向三 考向四 2 解 由B C G F四点共圆 CG CB知FG FB 连接GB 由G为Rt DFC斜边CD的中点 知GF GC 故Rt BCG Rt BFG 因此 四边形BCGF的面积S是 GCB面积S GCB的2倍 12 考向一 考向二 考向三 考向四 突破策略1 判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理 特别要注意对应角和对应边 证明线段乘积相等的问题一般转化为有关线段成比例问题 2 相似三角形的性质可用来证明线段成比例 角相等 也可间接证明线段相等 13 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练1 2016山西太原高三三模 文22 如图 ABC内接于 O BC为 O的直径 过点A作 O的切线交CB的延长线于点P BAC的平分线分别交BC和 O于点D E 若PA 2PB 10 1 求证 AC 2AB 2 求AD DE的值 解析 14 考向一 考向二 考向三 考向四 证明四点共圆及圆的性质的应用例2如图 CD为 ABC外接圆的切线 AB的延长线交直线CD于点D E F分别为弦AB与弦AC上的点 且BC AE DC AF B E F C四点共圆 1 证明 CA是 ABC外接圆的直径 2 若DB BE EA 求过B E F C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值 15 考向一 考向二 考向三 考向四 1 证明 因为CD为 ABC外接圆的切线 所以 DCB A 由题设知 故 CDB AEF 所以 DBC EFA 因为B E F C四点共圆 所以 CFE DBC 故 EFA CFE 90 所以 CBA 90 因此CA是 ABC外接圆的直径 16 考向一 考向二 考向三 考向四 2 解 如图 连接CE 因为 CBE 90 所以过B E F C四点的圆的直径为CE 由DB BE 可得CE DC 又在Rt ACD中 由射影定理知BC2 DB BA 2DB2 所以CA2 4DB2 BC2 6DB2 而DC2 DB DA 3DB2 故过B E F C四点的圆的面积与 ABC外接圆面积的比值为 17 考向一 考向二 考向三 考向四 突破策略判断四点共圆的常用方法有 1 直接找出一点到所证四点的距离相等 2 证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角 3 证明线段同侧的两点对线段的张角相等 则这两点以及线段的两个端点共圆 18 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练2 2016河北保定高三二模 文22 如图所示 E F分别是矩形ABCD的边AB BC上的点 E F不与边的端点重合 已知线段BF BC的长分别为m n AB BE的长是关于x的方程x2 18x mn 0的两个根 1 证明 A E F C四点共圆 2 若n 2m 8 求四边形AEFC外接圆的面积 19 考向一 考向二 考向三 考向四 1 证明 连接EF 根据题意 在 BEF和 ACB中 BF BC mn BE AB 又 FBE CBA 从而 FBE ABC 因此 BFE BAC 所以A E F C四点共圆 2 解 由题意 知n 8 m 4 则方程x2 18x mn 0的两根为x1 2 x2 16 故BE 2 AB 16 如图 设圆心为O AE CF的中点分别为Q H 连接OQ OH 故四边形AEFC外接圆的面积为85 20 考向一 考向二 考向三 考向四 圆周角 弦切角及圆的切线问题例3 2016全国丙卷 文22 如图 O中的中点为P 弦PC PD分别交AB于E F两点 1 若 PFB 2 PCD 求 PCD的大小 2 若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G 证明OG CD 21 考向一 考向二 考向三 考向四 1 解 连接PB BC 则 BFD PBA BPD PCD PCB BCD 所以 PBA PCB 又 BPD BCD 所以 BFD PCD 又 PFB BFD 180 PFB 2 PCD 所以3 PCD 180 因此 PCD 60 2 证明 因为 PCD BFD 所以 EFD PCD 180 由此知C D F E四点共圆 其圆心既在CE的垂直平分线上 又在DF的垂直平分线上 故G就是过C D F E四点的圆的圆心 所以G在CD的垂直平分线上 又O也在CD的垂直平分线上 因此OG CD 22 考向一 考向二 考向三 考向四 突破策略1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形全等或相似 也可求线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或向弦 弧 两端画圆周角或作弦切角 23 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练3如图所示 O的直径为6 AB为 O的直径 C为圆周上一点 BC 3 过C作圆的切线l 过A作l的垂线AD AD分别与直线l 圆交于D E 1 求 DAC的度数 2 求线段AE的长 24 考向一 考向二 考向三 考向四 解 1 由已知 得 ADC和 ACB都是直角三角形 在Rt ACB中 由AB 6 BC 3 可知 CAB 30 由于直线l与 O相切 由弦切角定理知 BCF 30 由 DCA ACB BCF 180 且 ACB 90 知 DCA 60 故在Rt ADC中 DAC 30 25 考向一 考向二 考向三 考向四 2 方法1 连接BE 如图所示 由 1 知 EAB 60 CBA AB为公共边 则Rt ABE Rt BAC 所以AE BC 3 26 考向一 考向二 考向三 考向四 方法2 连接EC OC 如图所示 则由弦切角定理 知 DCE CAE 30 又 DCA 60 故 ECA 30 又因为 CAB 30 故 ECA CAB 从而EC AO 由OC l AD l 可得OC AE 故四边形AOCE是平行四边形 又因为OA OC 故四边形AOCE是菱形 27 考向一 考向二 考向三 考向四 考向四与圆有关的比例线段例4如图 P是 O外一点 PA是切线 A为切点 割线PBC与 O相交于点B C PC 2PA D为PC的中点 AD的延长线交 O于点E 证明 1 BE EC 2 AD DE 2PB2 28 考向一 考向二 考向三 考向四 证明 1 连接AB AC 由题设知PA PD 故 PAD PDA 因为 PDA DAC DCA PAD BAD PAB DCA PAB 所以 DAC BAD 2 由切割线定理得PA2 PB PC 因为PA PD DC 所以DC 2PB BD PB 由相交弦定理得AD DE BD DC 所以AD DE 2PB2 29 考向一 考向二 考向三 考向四 突破策略涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段 常利用圆周角或弦切角的性质证明三角形相似 在相似三角形中寻找比例线段 也可以利用相交弦定理 切割线定理证明线段成比例 在实际应用中 一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理 涉及两条割线就要想到割线定理 见到切线和割线时要注意应用切割线定理 30 考向一 考向二 考向三 考向四 对点训练4 2016河北张家口市考前模拟 文22 如图所示 已知 O的直径为AD PA为 O的切线 由P作割线PBC依次交 O于B C两点 且PA CD 6 BC 9 AC 8 1 求 O的面积大小 2 求PB AB BD的值 31 考向一 考向二 考向三 考向四 32 1 证明三角形相似的方法很多 解题时应根据条件 结合图形选择恰当的方法 一般的思考过程 先找两角对应相等 若只有一角对应相等 再判定该角的两边是否对应成比例 若无角对应相等 就要证明三边对应成比例 2 证明两角相等 关键是确定两角之间的关系 多利用中间量进行转化 可以通过证明三角形相似或全等 利用平行线的有关定理 如同位角相等 内错角相等等 也可利用特殊平面图形的性质 如利用等腰三角形的两个底角相等 圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡 3 证明等积式时 通常转化为证明比例式 再证明四条线段所在的三角形相似 另外也可利用平行线分线段成比例定理来证明 33 4 圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理 证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系 除了注意平面图形中的垂直 平行关系之外 还应注意弦切角 同弧所对角等性质的灵活运用