高中数学苏教版必修一学案：2.1.1 第1课时 函数的概念和定义域

21函数的概念21.1函数的概念和图象第1课时函数的概念和定义域学习目标1.理解函数的概念(难点)；2.了解构成函数的要素(重点)；3.会求一些简单函数的定义域和函数值(重点)预习教材P2325的例2，完成下面问题：知识点一函数的概念设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为yf(x)，xA.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数yf(x)的定义域【预习评价】试用函数的定义判断下列对应是不是函数？(1)f：求周长，A三角形，BR；(2)x123y321；(3)x123y111；(4)x111y123；(5)x123y12.提示(1)不是，因为集合A不是数集(2)是对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应(3)是对于数集A中的每一个x，在数集B中都有唯一确定的y和它对应(4)不是一个x1，对应了三个不同的y，违反了“唯一确定”(5)不是x3没有相应的y与之对应检验两个变量之间是否具有函数关系的方法：定义域和对应法则是否给出；根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.只有当(1)(2)同时满足时，y才是x的函数知识点二函数的三要素函数的三个要素：定义域，对应法则，值域(1)定义域定义域是自变量x的取值集合有时函数的定义域可以省略，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合(2)对应法则对应法则f是核心，它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”，是连接x与y的纽带，按照这一“程序”，从定义域A中任取一个x，可得到值域y|yf(x)且xA中唯一确定的y与之对应(3)值域函数的值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应法则确定了，那么它的值域也会随之确定【预习评价】1下列图形可以表示为以Mx|0x1为定义域，Nx|0x1为值域的函数是_(填序号)解析根据函数定义任意实数x对应唯一实数y，所以(3)正确答案(3)2函数y的定义域为_解析依题意有故定义域为x|4x5，或x5答案x|4x5，或x5知识点三函数相等如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等【预习评价】下列各组函数中，表示同一函数的是_(填序号)(1)y1，y(2)y，y(3)yx，y(4)y|x|，y2解析四个表达式中对应法则和定义域均相同的只有(3)，故填(3)答案(3)题型一函数概念【例1】判断下列对应是否为从集合A到集合B的函数(1)AR，By|y0，f：xy|x|；(2)AZ，BZ，f：xyx2；(3)AZ，BZ，f：xy；(4)Ax|1x1，B0，f：xy0.解(1)当取值为0时A中在B中没有对应值，故不是集合A到集合B的函数(2)对于集合A中的任意一个整数x，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数(3)集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的值，故不是集合A到集合B的函数(4)对于集合A中任意一个实数x，按照对应法则f：xy0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数规律方法(1)判断一个对应法则是不是函数关系的方法：A，B必须都是非空数集；A中任意一个数在B中有唯一确定的实数和它对应注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”【训练1】下列对应或关系式中是A到B的函数的有_AR，BR，x2y21；A1,2,3,4，B0,1，对应关系如图：AR，BR，f：xy；AZ，BZ，f：xy.解析对于，x2y21可化为y，显然对任意xA，y值不唯一，故不符合；对于，符合函数的定义；对于，2A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合；对于，1A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合答案题型二求函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足即所以函数的定义域为x|x1，且x1(2)要使函数有意义，必须满足|x|x0，即|x|x，x0.函数的定义域为x|x0规律方法(1)当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；分式中分母不能为0；零次幂的底数不为0；如果f(x)由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况(2)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示【训练2】求下列函数的定义域：(1)y；(2)y.解(1)由于00无意义，故x10，即x1.又x2>0，x>2，所以x>2且x1.所以函数y的定义域为x|x>2，且x1(2)要使函数有意义，需解得x<2，且x0，所以函数y的定义域为.互动探究题型三求函数值【探究1】已知f(x)(xR，且x1)，g(x)x22(xR)(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3)的值解(1)f(x)，f(2).又g(x)x22，g(2)2226.(2)g(3)32211，f(g(3)f(11).【探究2】已知f(x)(xR，x2)，g(x)x4(xR)(1)求f(1)，g(1)的值；(2)求f(g(1)，g(f(1)的值；(3)求f(g(x)，g(f(x)的表达式解(1)f(1)1，g(1)145.(2)f(g(1)f(5)，g(f(1)g(1)145.(3)f(g(x)f(x4)，g(f(x)g()4.【探究3】已知函数f(x).(1)求f(2)与f()，f(3)与f()；(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f()有什么关系？并证明你的发现；(3)求f(1)f(2)f(3)f(2 016)f()f()f()的值解(1)f(x)，f(2)，f()，f(3)，f().(2)由(1)可发现f(x)f()1，证明如下：f(x)f()1.(3)由(2)知：f(2)f()1，f(3)f()1，f(2 016)f()1，原式2 015.规律方法(1)函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系函数的定义域和对应法则一经确定，值域随之确定(2)f(x)是函数符号，f表示对应法则，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积在不同的函数中f的具体含义不同，对应法则可以是解析式、图象、表格等函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，F(x)等表示(3)求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f(g(x)型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f(g(x)与g(f(x)的区别课堂达标1有对应法则f：(1)A0,2，B0,1，x；(2)A2,0,2，B4，xx2；(3)AR，By|y0，x；(4)AR，BR，x2x1；(5)A(x，y)|x，yR，BR，(x，y)xy.其中能构成从集合A到集合B的函数的有_(填序号)解析(2)(3)中，当x0时，B中不存在数值与之对应；(5)中，集合A不是数集答案(1)(4)2已知集合ABR，xA，yB，对任意xA，xaxb是从集合A到集合B的函数，若输出值1和8对应的输入值分别为3和10，则输入值5对应的输出值为_解析由题意得解得所以对应法则f：xx2，故输入值5对应的输出值为3.答案33函数f(x)的定义域为_解析要使函数f(x)有意义，需满足解得x4且x1，所以函数f(x)的定义域为x|x4，且x1答案x|x4，且x14函数f(x)对任意自然数x满足f(x1)f(x)1，f(0)1，则f(5)_.解析f(1)f(0)1112，f(2)f(1)13，f(3)f(2)14，f(4)f(3)15，f(5)f(4)16.答案65已知函数f(x).(1)求f(2)；(2)求f(f(1)解(1)f(x)，f(2).(2)f(1)，f(f(1)f.课堂小结(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应法则函数的定义域和对应法则共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应法则不一定相同如yx与y3x的定义域和值域都是R，但它们的对应法则不同，所以是两个不同的函数.