高中数学北师大版选修4-1同步配套教学案：第一章 &amp#167;2 2．1 圆周角定理

21圆周角定理对应学生用书P121圆周角定理(1)文字语言：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半(2)符号语言：在O中，所对的圆周角和圆心角分别是BAC，BOC，则有BACBOC.(3)图形语言：如图所示2圆周角定理的推论(1)推论1同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等(2)推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弧是半圆1圆周角定理中圆周角与圆心角所对的弧是同一段弧吗？提示：一定对着同一条弧才能有定理中的数量关系2推论1中若把“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论还成立吗？提示：不成立因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在一般情况下是不相等的对应学生用书P13利用圆周角定理解决计算问题例1已知ABC内接于圆O，OBC35，求A.思路点拨本题主要考查圆周角定理顶点A的位置不确定，所以点A和圆心O可能在BC的同侧，也可能在BC的异侧精解详析(1)当点A和圆心O在BC的同侧时，如图所示OBOC，OBCOCB.OBC35，BOC1802OBC110.BACBOC55.(2)当点A和圆心O在BC的异侧时，如图所示设P为圆上与圆心O在BC的同侧一点，连接PB，PC.OBOC，OBCOCB.OBC35，BOC1802OBC110.BPCBOC55.BAC180BPC18055125.综上所得，A的度数是55或125.使用圆周角定理时，一定要注意“同一条弧”所对的圆周角与圆心角这一条件1如图，ABC内接于O，ODBC于D，A50，则OCD的度数是()A40B25C50 D60解析：选A连接OB.因为A50，所以BC弦所对的圆心角BOC100，CODBOC50，OCD90COD905040.所以OCD40.例2如图，已知AB为O的直径，AC为弦，ODBC，交AC于D，BC4 cm.(1)试判断OD与AC的关系；(2)求OD的长；(3)若2sinA10，求O的直径思路点拨本题主要考查圆周角定理推论2的应用解题时，可判断ACB90.利用ODBC可得ODAC.用相似可得OD的长，由边角关系可求O的直径精解详析(1)AB为O的直径，ACB90.ODBC，ADOACB90，ODAC.(2)AODABC，ODBC42(cm)(3)2sin A10，sin A.sin A，AB2BC248(cm)“半圆(直径)所对的圆周角是直角，和直径能构成直角三角形”这一性质应用广泛，解题时注意直角三角形中有关定理的应用本例的条件变为：“弦AC4，BC3，CDAB于D”，求CD.解：由勾股定理知AB5，SACBACBCABCD，345CD，CD.利用圆周角定理解决证明问题例3如图，BC为圆O的直径，ADBC，BF和AD相交于E，求证：AEBE.思路点拨本题主要考查利用圆周角定理证明问题解题时只需在ABE中证明ABEEAB.而要证这两个角相等，只需借助ACB即可精解详析BC是O的直径，BAC为直角，又ADBC，RtBDARtBAC.BADBCA.，FBAACB.BADFBA.ABE为等腰三角形AEBE.有关圆的题目中，圆周角与它所对的弧及弦可以相互转化即欲证圆周角相等，可转化为证明它们所对的弧相等要证线段相等可以转化为证明它们所对的弧相等这是证明圆中线段相等的常用方法2如图，AB是O的直径，C为圆周上一点，ABC30，O过点B的切线与CO的延长线交于点D.求证：(1)CABBOD.(2)ABCODB.证明：(1)因为AB是O的直径，所以ACB90，由ABC30，所以CAB60.又OBOC，所以OCBOBC30，所以BOD60，所以CABBOD.(2)在RtABC中，ABC30，得ACAB，又OBAB，所以ACOB.由BD切O于点B，得OBD90.在ABC和ODB中，所以ABCODB.本课时主要考查圆周角定理及推论的计算与证明问题，难度中档考题印证如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BDDC，连接AC，AE，DE.求证：EC.命题立意本题主要考查圆周角定理的推论及平行线的性质自主尝试连接OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB.于是BC.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.对应学生用书P14一、选择题1.如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，BCD25，则下列结论错误的是()AAEBE BOEDECAOD50DD是的中点解析：选B因为CD是O的直径，弦ABCD，所以，AEBE，因为BCD25，所以AOD2BCD50，故A，C，D正确，B不能得证2如图所示，AB是O的直径，C是上的一点，且AC8，BC6，则O的半径r等于()AB5C10 D不确定解析：选B由已知得ACB90，AB10，即2r10，r5.3.如图，直径为10的C经过点A(0,5)和点O(0,0)，B是y轴右侧C弧上一点，则cosABO的值为()ABCD解析：选B法一：设C与x轴另一个交点为D，连接AD，如图所示：因为AOD90，所以AD为C的直径，又因为ABO与ADO为圆弧AO所对的圆周角，所以ABOADO，又因为A(0,5)，所以OA5，在RtADO中，AD10，AO5，根据勾股定理得：OD5.所以cosABOcosADO，故选B.法二：连接CO，因为OA5，ACCO5，所以ACO为等边三角形，ACO60，ABOACO30，所以cosABOcos 30.4已知P，Q，R都在弦AB的同侧，且点P在上，点Q在所在的圆内，点R在所在的圆外(如图)，则()AAQB<APB<ARBBAQB<ARB<APBCAPB<AQB<ARBDARB<APB<AQB解析：选D如图所示，延长AQ交圆O于点C，设AR与圆O相交于点D，连接BC，BD，则有AQB>ACB，ADB>ARB.因为ACBAPBADB，所以AQB>APB>ARB.二、填空题5.如图，点A，B，C在O上，AOC60，则ABC的度数是 解析：因为AOC60，所以弧ABC的度数为60，AC对的优弧的度数为36060300，所以ABC150.答案：1506.如图，在ABC中，AB为O的直径，B60，BOD100，则C的度数为 解析：因为BOD100，所以ABOD50.因为B60，所以C180AB70.答案：707.如图，ABC为O的内接三角形，AB为O的直径，点D在O上，ADC68，则BAC .解析：因为AB是圆O的直径，所以弧ACB的度数为180，它所对的圆周角为90，所以BAC90ABC90ADC906822.答案：228.如图，在半径为2 cm的O内有长为2 cm的弦AB，则此弦所对的圆心角AOB为 解析：作OCAB于C，则BC，在RtBOC中，OC1(cm)，sinB，B30，BOC60，AOB120.答案：120三、解答题9.如图，在O中，弦AB16，点C在O上，且sin C.求O的半径长解：作直径AD，连接BD，则ABD90，DC.因为sin C，所以sin D.在RtABD中，sin D，又因为AB16，所以AD1620，所以OAAD10，即O的半径长为10.10如图，已知在O中，直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，ACB的平分线交O于D，求BC，AD和BD的长解：因为AB为直径，所以ACBADB90.在RtABC中，BC8(cm)因为CD平分ACB，所以，所以ADB为等腰三角形所以ADBDAB105(cm)11.如图，AB是O的直径，弦CDAB于点N，点M在O上，1C.(1)求证：CBMD.(2)若BC4，sin M，求O的直径解：(1)证明：因为C与M是同一弧所对的圆周角，所以CM.又1C，所以1M，所以CBMD(内错角相等，两直线平行)(2)由sin M知，sin C，所以，BN4.由射影定理得：BC2BNAB，则AB6.所以O的直径为6.